Integration durch Substitution und Integration mit Partialbruchzerlegung

Question

Aufgabe:

$$\int  \frac{(ln \hspace{1mm} x)^3}{x} dx$$ soll mittels Substition und

$$\int \frac{3x^2-2x+1}{x^3-x^2+x-1} dx$$ soll mittels Partialbruchzerlegung integriert werden.

Problem/Ansatz:

Habe die Formeln vor mir, nur bin ich nicht in der Lage diese anzuwenden.

Answer 1

$$\boxed{ \int \limits_{}^{} \frac{ln^3(x)}{x}dx }\\ u = ln(x); \frac{du}{dx} = \frac{1}{x}; dx = x*du \\ \boxed{ \int \limits_{}^{} \frac{u^3}{x}*x du = \int \limits_{}^{} u^3 du = \frac{u^4}{4} + C = \frac{ln^4(x)}{4} +C }\\ \text{ --------------------------------------------------------- }\\ \frac{3x^2-2x+1}{x^3-x^2+x-1} \\ \text{ Man erkennt leicht, dass der Nenner bei x=1 eine Nullstelle hat }\\ \frac{3x^2-2x+1}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{2x}{x^2+1} + \frac{1}{(x-1)} \\ \int \limits_{}^{} \frac{2x}{x^2+1} = ln(x^2+1) + C \quad; Substitution \quad mit \quad u = x^2+1 \\  \int \limits_{}^{} \frac{1}{x-1} = ln(|x-1|) + C \quad; Substitution \quad mit \quad u = x-1  \\ \int \limits_{}^{} \frac{2x}{x^2+1} + \frac{1}{(x-1)} = ln(x^2+1) + ln(|x-1|) + C = \\ ln( (x^2+1)*|x-1|) + C = ln(|x^3-x^2+x-1|) + C\\ $$