Partielle Integration und Substitution bestimmter / unbestimmter Integrale: ∫ x/√(x^2 + 16) dx, …

Question

Berechnen Sie mit den Integrationstechniken aus der Vorlesung (insbesondere Substitution und partielle Integration) die folgenden bestimmten bzw. unbestimmten Integrale:

a) \( \int \limits_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+16}} d x \)

b) \( \int e^{3 x} \cos (2 x) d x \)

c) \( \int \limits_{1}^{e} \frac{\sqrt{\ln (x)}}{x} d x \)

d) \( \int \frac{1}{1+e^{x}} d x \)

e) \( \int \frac{5 x-10}{x^{2}-3 x-4} d x \)

Hinweis zu (e): Partialbruchzerlegung.

Answer 1

∫ x/√(x^2 + 16) dx

Substitution
z = x^2 + 16
dz = 2·x dx

∫ x/√z dz/(2·x)
= ∫ 1/(2·√z) dz
= ∫ 1/2·z^{- 1/2} dz
= z^{1/2}
= √z

Resubstitution

= √(x^2 + 16)

∫ e^{3·x}·COS(2·x) dx

Partielle Integration

∫ e^{3·x}·COS(2·x) dx
= 1/3·e^{3·x}·COS(2·x) - ∫ 1/3·e^{3·x}·(- 2·SIN(2·x)) dx
= 1/3·e^{3·x}·COS(2·x) + 2/3·∫ e^{3·x}·SIN(2·x) dx

∫ e^{3·x}·SIN(2·x) dx
= 1/3·e^{3·x}·SIN(2·x) - ∫ 1/3·e^{3·x}·(2·COS(2·x)) dx
= 1/3·e^{3·x}·SIN(2·x) - 2/3·∫ e^{3·x}·COS(2·x) dx

∫ e^{3·x}·COS(2·x) dx = 1/3·e^{3·x}·COS(2·x) + 2/3·(1/3·e^{3·x}·SIN(2·x) - ∫ 2/3·e^{3·x}·COS(2·x) dx)
∫ e^{3·x}·COS(2·x) dx = 1/3·e^{3·x}·COS(2·x) + 2/9·e^{3·x}·SIN(2·x) - 4/9·∫ e^{3·x}·COS(2·x) dx)
13/9·∫ e^{3·x}·COS(2·x) dx = 1/3·e^{3·x}·COS(2·x) + 2/9·e^{3·x}·SIN(2·x)
∫ e^{3·x}·COS(2·x) dx = 3/13·e^{3·x}·COS(2·x) + 2/13·e^{3·x}·SIN(2·x)

∫ √(LN(x))/x dx

Substitution
z = LN(x)
dz = 1/x dx

= ∫ √z/x dz·x
= ∫ √z dz
= 2/3·z^{3/2}

Resubstitution

= 2/3·LN(x)^{3/2}

Answer 2

Hi, ein Tipp:

$$ \mathrm{d)}\qquad\int\frac{1}{1+e^{x}}\mathrm{\, d}x=\int1-\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\mathrm{\, d}x=\ldots $$