Integration durch Substitution (Multiplikation in Integrand)

Question

Aufgabe:

Bilden Sie folgendes Intergal mithilfe der Integration durch Substitution:

∫ 2xcos(x²) dx

Problem/Ansatz:

Mir ist die Lösung unter Hinzunahme von Online-Rechnern bekannt. Sie lautet wie folgt:

sin(x²) + c

Ebenfalls ist mir der folgende Weg dahin bewusst:

g(x) = u = x², woraus folgt g'(x) = 2x bzw. du = 2x dx

f(x) = cos(x)

Anwendung der Substitution: ∫ f(g(x)) * g'(x) dx = ∫ f(u) du = ∫ cos(u) du = sin(u) + c

Rücksubstitution: ∫ 2xcos(x2) dx = sin(x²) + c

Meine Frage ist: Wieso wird die 2x aus der Ausgangssituation ∫ 2xcos(x2) dx komplett ignoriert bzw. wieso darf ich diese komplett ignorieren? Mir ist bekannt, dass von x unabhängige Konstanten vor das Integral gezogen werden dürfen, d.h. in diesem Fall bspw. die 2. Aber selbst dann bliebe ja weiterhin das x.

Ich habe hier aktuell ein Brett vor dem Kopf. Für eine Erklärung wäre ich sehr dankbar. Vielen Dank vorab!

Answer 1

Aus g'(x) = 2x folgt \( du=\frac{dx}{2x} \).

Das 2x im Nenner kürzt sich mit dem bereits vorhandenen Faktor 2x weg.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Hilfe!