Gleichungssystem über endlichen Körper GF(3) lösen

Question

Aufgabe:

Gleichungssystem über endlichen Körper GF(3) lösen

x₁ + 2x₂ + x₄ = 2

2x₁ + x₂ + x₃ = 2

x₁ + 2x₂ + x₃ + 2x₄ = 0

Problem/Ansatz:

Ich habs erstmal umgeschrieben:

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & | 2 \\ 2 & 1 & 1 & 0 & | 2 \\ 1 & 2 & 1 & 2 & | 0 \end{pmatrix} \)

Dann mit dem gaußschen Eliminationsverfahren umgeformt:

Zeile 3 = Zeile 3 + Zeile 2

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & | 2 \\ 2 & 1 & 1 & 0 & | 2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & | 2 \end{pmatrix} \)

Zeile 2 = Zeile 2 + Zeile 1

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & | 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & | 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & | 2 \end{pmatrix} \)

Zeile 3 = Zeile 3 + Zeile 2

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & | 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & | 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | 0 \end{pmatrix} \)

Wie man auf die Lösungsmenge kommt ist mir noch wenig intuitiv. Man soll ja erstmal die freien Variablen null setzten.

x2 = 0, x4 = 0

Daraus ergibt sich:

x3 = 1

x1 = 2

Also ist (2, 0, 1, 0) eine Lösung des Gleichungssystems.

Wie bekommt man jetzt die Lösungen, wenn x2 und/oder x4 ungleich null sind?

Comments

Dein erster Gaußschritt ist bereits nicht richtig.

[1]+[1]=[2]≠0 in GF(3).

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Sorry, hatte mich vertippt. Hätte + Zeile 2 statt + Zeile 1 lauten sollen. Habs korrigiert.

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Wie kommst du darauf, dass für die Lösung die freien Paramter gleich Null gesetzt werden müssen?

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Hab die Lösung vor mir, komme aber nicht auf den Lösungsweg.

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Lösung ist {(2, 0, 1, 0) + a * (1, 1, 0, 0) + b * (2, 0, 2, 1) | a, b element GF(3)}

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\(x_2\) und \(x_4\) sind freie Paramter. Man schreibt dann sowas wie \(x_2=t\) und \(x_4=r\) mit \(t,r\in \text{GF}(2)\).

Aus der ersten Zeile folgt, dass \(x_1+2x_2+x_4=0\Rightarrow x_1=-2x_2-x_4=-2t-r\). Aus der dritten Zeile folgt, dass \(x_3+x_4=0\Rightarrow x_3=-x_4=-r\). Der allg. Lösungsvektor ist dann:$$\vec{x}=\begin{pmatrix} -2t-r\\t\\-r\\r \end{pmatrix}=r\begin{pmatrix} -1\\0\\-1\\1 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -2\\1\\0\\0 \end{pmatrix}$$

Answer 1

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & | 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & | 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | 0 \end{pmatrix}

Laut zweiter Zeile ist

        x₃ + x₄ = 1,

und somit

        x₃ = 1 - x₄
            = 1 + (-x₄)
            = 1 + (-1)·x₄
            = 1 + 2x₄.

Ebenso ist laut erster Zeile

        x₁ + 2x₂ + x₄ = 2

und somit

        x₁ = 2 - 2x₂ - x₄
            = 2 + x₂ + 2x₄.

Lösungsmenge ist also

        {(x₁ x₂ x₃ x₄)^T ∈ GF(3)⁴ | x₁ = 2+x₂+2x₄ ∧ x₃ = 1+2x₄}.

Comments

Vielen Dank, jetzt habe ichs verstanden. Die Musterlösung hatte nur eine andere Schreibweise, die mich verwirrt hatte.