Berechnen Sie den Zeilenrang der Matrix über dem endlichen Körper R17

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Zeilenrang der Matrix

\( A=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & -3 & 4 & -1 & 9 \\ -2 & 6 & -6 & 16 & 24 \\ -3 & 9 & -6 & -6 & -3 \\ 3 & -9 & 4 & 9 & 0 \end{array}\right| \)

über dem endlichen Körper \( R_{17}(\mathbb{Z})=\{0,1,2, \ldots, 16\} \).

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Ich habe folgenden Ansatz, weiß aber, dass er falsch ist:

1   −3    4   −1  9     1. Reihe *2 mod17 plus 2. Reihe
−2   6  −6  16  24 
−3   9  −6  −6 −3
3    −9   4    9   0

1  −3    4  −1  9    
0    0    2  14  7     2.Reihe und 3. Reihe tauschen
−3  9  −6  −6 −3
3    −9  4    9  0

1  −3    4  −1  9    1.Reihe *3mod17 plus 2. Reihe
−3  9  −6  −6 −3

0    0    2  14  7
3    −9  4    9  0

1  −3    4  −1  9    
0     0   6  −9  7
0     0   2  14  7
3    −9  4    9  0   4.Reihe und 2. Reihe tauschen

1  −3    4  −1  9    1.Reihe *-3 mod17 plus 2.Reihe

3    −9  4    9  0
0    0  6  −9  7
0    0  2  14  7

1  −3    4  −1  9 
0    0  8    12  7
0    0  6  −9  7
0    0  2  14  7

Ich weiß, dass ich noch weiter machen müsste und das nicht die endgültige Form ist, aber ich denke, dass der Weg falsch ist. Ich habe mehrere Wege versucht, allerdings war's immer falsch und das hier ist jetzt der letzte Versuch, aber irgendwie verstehe ich einfach nicht, wo der Fehler ist...

Comments

Update: Ich habe mir jetzt überlegt, dass ich die negativen Zahlen zunächst in positive umwandeln sollte, indem ich mod17 rechne. Danach erhalte ich:

1    14    4   16     9
15    6  11   16     7 
14    9  11    11  14
3    8   4      9    0

Aber auf eine richtige Lösung komme ich trotzdem nicht...

Answer 1

Was soll die Zeilentauscherei bewirken?

Ich würd auch erstmal 4+3 verrechnen, weils so schön passt...

ZMOD(A,z,q,s,p)=A(z)+q A(s) mod p

A1:{ZMOD(A,1,0,1,p),ZMOD(A,2,2,1,p),ZMOD(A,3,3,1,p),ZMOD(A,4,1,3,p)}

\(\small A1 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrrr}1&14&4&16&9\\0&0&2&14&8\\0&0&6&8&7\\0&0&15&3&14\\\end{array}\right)\)

A2:{ZMOD(A1,3,-3,2,p),ZMOD(A1,4,-7,2,p)}

\(\small A2 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrrr}1&14&4&16&9\\0&0&2&14&8\\0&0&0&0&0\\0&0&1&7&9\\\end{array}\right)\)

ZMOD(A2,2,-2,4,p)

\(\small A3 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrrr}1&14&4&16&9\\0&0&0&0&7\\0&0&0&0&0\\0&0&1&7&9\\\end{array}\right)\)

Comments

Dankeschön für deine Antwort! Ich verstehe allerdings noch nicht genau, wie du auf die Matrizen kommst... Welche Zeilen verrechnest du da mit einander?

Ich weiß, dass die Lösung folgende ist:

\(A=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 14 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right| \)

aber ich kann einfach nicht nachvollziehen, wie man auf das Ergebnis kommt.

---

die schritte sind doch in ZMOD definiert.

um dein ergebnis zu erhalten musst du die zeilen in A3 vertauschen und die dritte und letzte spalte nullen, das ist die zeilenstufenform (war nicht verlangt)- den rang kannst du aber auch an A3 ablesen.

---

Ah okay, verstehe! Dankeschön!

---

Könntest du vielleicht dieses ZMOD erklären, was genau zu tun ist? Also wie bist du darauf gekommen

---

wie oben

ZMOD(A,z,q,s,p)=A(z)+q A(s) mod p

AZeile z += q AZeile s mod p

das ist eigentlich eine Geogebra-Funktion (hab Dir sogar ein Bild gemacht)

https://www.geogebra.org/m/uq8fwsdb

A1:{ZMOD(A,1,0,1,p),ZMOD(A,2,2,1,p),ZMOD(A,3,3,1,p),ZMOD(A,4,1,3,p)}

 { Zeile 1 mod 17,
   Zeile 2 + 2 Zeile1 mod 17,
   Zeile 3 + 3 Zeile 1 mod 17,
   Zeile 4+ 1 Zeile 3 mod 17
 }