Untersuchen Sie die Funktion auf lokale und globale Extremwerte.

Question

HAllo und zwar habe ich die Aufgabe zu lösen:

Untersuchen Sie die Funktion
f : [−2, +2], x→ |x² − 1| auf lokale und globale Extremwerte.

soweit habe ich bis jetzt meine Rechnung ausgeführt. Leider komme ich jetzt allerdings nicht weiter. Weil wenn ich die 0 in mein jeweiliges f einsetze, erhalte ich (0/1),(0/-1) und (0/-1). Dass (0/1) kommt ja hin, für ein lokales Maximum. Nur kann (0/-1) ja kein lokales Minimum sein. Wo liegt mein Fehler? Oder kann ich die genauen Punkte nur durch zeichnen eines Graphen bestimmen bei der Betragsfunktion?

Answer 1

Weil wenn ich die 0 in mein jeweiliges f einsetze

Die 0 hat in f'₂ und f'₃ nichts zu suchen, weil sie außerhalb des Definitionsbereiches dieser Funktionen liegt.

Allerdings muss du dich noch um die Ränder der Definitionsbereiche kümmern, also um -2, -1, 1 und 2.

Answer 2

[−2, +2], x→ |x^2 − 1| auf lokale und globale Extremwerte.

x^2 - 1 = 0
x^2 = 1
x = + 1
x = -1
Die Funktion ist für -x und +x dieselbe

|----------|----------|
0           1          2

Bereich 0 bis 1
|x^2 − 1| = ( x^2 -1 ) * (-1)
f ( x ) = -x^2 + 1
f ´ ( x ) = - 2x
Extremwert
- 2x = 0
x = 0
( 0 | +1 )

Der Rand ( Gültigkeit der Funktion ) bei x = 1 muß
auch berechnet werden
f ( 1 ) = | x^2 -1 | = 0
( 1 | 0 )
Bereich 1 bis 2
| x^2 − 1| = x^2 -1
f ( x ) = x^2 - 1
f ´ ( x ) = 2x
Extremwert
2x = 0
x = 0  entfällt da nicht im Bereich 1 bis 2

Randmaxi- oder minimum bei x = 2
f ( 2 ) = | 2^2 − 1| = 3
( 2 | 3 )

( 0 | 1 } 
( 1 | 0 )
( 2 | 3 )

Min ( 1 | 0 )
Max ( 2 | 3 )

Aufgrund der Symmetrie
Min ( -1 | 0 )
Max ( -2 | 3 )