Transformationsmatrizen bestimmen und zugehörige Abbildungsmatrix

Question

Aufgabe:
$$\text{Es seien die Basis } B=\{(1,-1,0),(0,1,-1),(1,-1,1)\} \text{ und die Basis } \\C=\{(1,-1),(-2,1)\} \text{ gegeben, sowie die durch die Matrix } A_{L} \text{ beschriebene Abbildung }\\  L: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\ \text{ bzgl. der Standardbasen. }\\ A_{L}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ \text{ Geben Sie die Transformationsmatrizen an, die zur Bestimmung der zugehörigen Abbildungsmatrix } \bar{A}_{L} \\ \text{ nötig sind und bestimmen Sie die Abbildungmatrix } \bar{A}_{L}, \text{ die von } B \text{ nach } C \text{ abbildet.}$$

Ich weiß nicht wie ich hier rangehen soll und auch was mit "...bzgl. der Standardbasen" gemeint ist.
Die Standardbasis sieht für mich folgender maßen aus:

$$E_{2}=\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right)\right) \text { bzw. } E_{3}=\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right)$$

Beide sind in der Aufgabe nirgendwo zu sehen. Wie ist das also gemeint, wenn etwas bezüglich der Standardbasen gegeben/definiert ist?

Wie muss man bei der Aufgabe vorgehen Schritt für Schritt? Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar.
Vielleicht hat auch jemand schon eine Idee bezüglich der Lösung (bzw. Lösungweg). Danke schon mal im Voraus!

Answer 1

Wir geben die Transformationsmatrix von B nach E (Standardbasis - die Du richtig angegeben hast) an

\(\small _Eid_B \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\-1&1&-1\\0&-1&1\\\end{array}\right) \)

und von C nach E

\(\small _Eid_C \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}1&-2\\-1&1\\\end{array}\right)\)

A_L ist eigentlich _EA_LE

Jetzt so zusammen setzen das die richtigen Basen aufeinandertreffen

\(_CA_{LB}= (_Eid_C)^{-1} \; _EA_{LE} \; _Eid_B =\left(\begin{array}{rrr}-2&7&-7\\-3&6&-7\\\end{array}\right) \)

Comments

$$\text{Ist } _{E}id_{B} \text{ das Selbe wie } T_{E_3}^{B} \text{ ?}$$

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Ja, das ist nur eine andere Notation:

$$ _B \varphi_A = M_B^A(\varphi) $$

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Okay alles klar :) Dankeschön!!

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Ja, damit "sieht" man besser welche Basen auf einander treffen, wenn man die Matrizenrechnung aufschreibt....

Answer 2

Hallo,

mir hilft es immer erst einmal ein Diagramm zu zeichnen:

Die roten-markierten Matrizen sind deine Transformationsmatrizen. Diese musst du bestimmen. Es gilt: $$M^B_{E_3}(\text{id})= \left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\-1&1&-1\\0&-1&1\\\end{array}\right), \quad M^{E_2}_{C}(\text{id})= \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$ Damit ist $$\bar{A}_L=M_{C}^{E_2}(\text{id})\cdot A_L\cdot M_{E_3 }^{B}(\text{id})=\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -2 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\-1&1&-1\\0&-1&1\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}-2&7&-7\\-3&6&-7\\\end{array}\right)$$

Comments

Ja, das mit dem Diagramm ist eine gute Idee. Wie kommt man da immer am besten drauf?

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Hallo,

das Diagramm ist sehr hilfreich, um einen Überblick zu bekommen. Ich habe seither kaum Probleme mit Basiswechsel-Aufgaben gehabt. Geholfen hat mir dieses Video damals:

Erst einmal das, und dann das

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Alles klar :) Danke dir! :)