Vektoren: Vereinfachen sie.

Question

Vereinfachen sie:

\( (\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b}) \)

Habe leider keinen Ansatz, wie ich hier vorgehen soll.

Lösung ist:

Texterkannt:

\((\vec{a}+\vec{b})\times(\vec{a}-\vec{b})\)

 \( 2\vec{b} \times\vec{a} \)

Answer 1

Nutze die Bilinearitäts -und Antikommutativitätseigenschaft des Kreuzproduktes,also:

\((v+w)\times z=v\times z+w\times z\) und \(v\times w=-w\times v\).

Answer 2

Aloha :)

Zuerst mittels des Distributivgesetzes ausmultiplizieren:$$(\vec a+\vec b)\times(\vec a-\vec b)=\underbrace{\vec a\times\vec a}_{=\vec 0}+b\times\vec a-\vec a\times\vec b-\underbrace{\vec b\times\vec b}_{=\vec 0}$$Jetzt kannst du ausnutzen, dass das Vektorprodukt antikommutativ ist, das heißt beim Vertauschen der Vektoren ändert sich das Vorzeichen.$$=\vec b\times\vec a\underbrace{\,+\,\vec b\times\vec a}_{=-\vec a\times\vec b}=2\,\vec b\times\vec a$$

Comments

Vielen Dank. Den letzten Schritt begreife ich leider noch nicht.

Wie komme ich von \( \vec{b} \) x \( \vec{a} \) + \( \vec{b} \) x \( \vec{a} \)

zu 2\( \vec{b} \) + \( \vec{a} \)

Oder steht die zwei für beide Vektoren?

---

Das Kreuzprodukt bindet stärker als das Pluszeichen:$$\underbrace{\vec b\times\vec a}_{\text{Vektor}}+\underbrace{\vec b\times\vec a}_{\text{Vektor}}=2\cdot\underbrace{\vec b\times\vec a}_{\text{Vektor}}$$