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Aufgabe:

Berechnen sie die Zahlenwerte der folgenden Summen, indem sie die Ausdrücke zunächst durch umformen und zusammenfassen der Ausdrücke vereinfachen.

k=121(1k+2)k=424(1k2)\sum \limits_{k=1}^{21}(\frac{1}{k+2})-\sum \limits_{k=4}^{24}(\frac{1}{k-2})


Problem/Ansatz:

Ich habe das ganze zu,

k=1211k+2 \sum\limits_{k=1}^{21}{\frac{1}{k+2}} k=0201k+2 \sum\limits_{k=0}^{20}{\frac{1}{k+2}}

umgeformt.

Nun weiß ich allerdings nicht weiter. TR ist denke ich nicht Vorgesehen.

Ergebnis soll -2146 \frac{21}{46} sein.

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Nimm die beiden nicht gemeinsamen Summanden aus den jeweiligen Summen heraus, dann fällt der Rest weg.

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Hallo, wie genau meinst du das?

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Hallo, wie genau meinst du das?

Deiner Vorarbeit folgend geht es so weiter: k=1211k+2k=0201k+2=121+2+k=1201k+2k=1201k+210+2 \sum\limits_{k=1}^{21}{\dfrac{1}{k+2}} - \sum\limits_{k=0}^{20}{\dfrac{1}{k+2}} = \dfrac{1}{21+2} + \sum\limits_{k=1}^{20}{\dfrac{1}{k+2}} - \sum\limits_{k=1}^{20}{\dfrac{1}{k+2}} - \dfrac{1}{0+2}

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1/3+1/4+1/5+...+1/23 -(1/2 +1/3 +1/4 + ..+ 1/22)

übrig bleibt: -1/2+1/23 = (-23+2)/46 = -21/46

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∑ (k = 1 bis 21) (1/(k + 2)) - ∑ (k = 0 bis 20) (1/(k + 2))

= ∑ (k = 1 bis 20) (1/(k + 2)) + 1/(21 + 2) - ∑ (k = 1 bis 20) (1/(k + 2)) - 1/(0 + 2)

= ∑ (k = 1 bis 20) (1/(k + 2)) - ∑ (k = 1 bis 20) (1/(k + 2)) + 1/(21 + 2) - 1/(0 + 2)

= 1/(21 + 2) - 1/(0 + 2)

= 1/23 - 1/2

= 2/46 - 23/46

= - 21/46

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