Begründen Sie ob die lineare Abbildung injektiv und / oder surjektiv ist.

Question

Aufgabe:

Die lineare Abbildung L: ℝ^3 → ℝ^2 sei definiert durch

L([2 0 0]) = [1 -2]

L([0 -1 0]) = [2 1]

L([0 -2 1)] = [0 0]

Begründen Sie ob die lineare Abbildung L injektiv und / oder surjektiv ist.

Vielleicht kann mir hier ja jemand beim Ansatz und der Begründung helfen, danke schon mal im Voraus.

Answer 1

Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullelement des Vektorraumes (Nullvektors) besteht.

$$\text{Das ist mit } L((0,-2,1)^T)=(0,0)^T \text{ offensichtlich nicht der Fall.}$$

Insbesondere ist L nicht injektiv.

$$\text{Es gilt offenbar } \mathbb{R}^2 = \langle (1,-2)^T, (2,1)^T \rangle \text{ also ist L surjektiv.}$$

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort ich hätte noch eine Frage zur Surjektivität.

Also ist die Abbildung surjektiv da die Vektoren (1 -2) und (2 1) linear unabhängig sind und damit jeden anderen Vektor im ℝ^2 erzeugen können ?

Und wären dies beiden linear abhängig dann wäre die Funktion nicht surjektiv?

Oder soll mir das etwas anderes sagen ?

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Durch diese beiden Vektoren, zu denen ein Urbild existiert, wird der gesamte ℝ² erzeugt. Da die Abbildung linear ist, existiert also auch zu allen aus diesen beiden Vektoren erzeugten Vektoren ein Urbild, weshalb zu jedem Vektor aus ℝ² ein Urbild existiert.

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Super danke für die Antwort