Zeigen ob die lineare Abbildung injektiv oder surjektiv ist

Question

Aufgabe:

Ich habe die lineare Abbildung Ψ:V→V. Und Ψ(p)=p‘.

Zeige ob die lineare Abbildung injektiv oder Surjekriv ist

Problem/Ansatz:

Ich habe schon bewiesen, dass die Abbildung nicht Injektiv ist. Aber bei der surjektivität komme ich nicht weiter. Wie beweise ich das?

Comments

Was ist denn V ? Und ist \(\Psi\) das Bilden einer Ableitung?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Abbildung ist nicht injektiv, weil z.B. \(p(x)=2\) und \(p(x)=1\) dieselbe Ableitung \(p'(x)=0\) haben.

Die Abbildung ist jedoch surjektiv, weil das Integral eines jeden Polynoms wieder ein Polynom ist. Man findet also für jedes \(p'(x)\) aus der Zielmenge ein passendes \(p(x)=\int p'(x)\,dx\) aus der Definitionsmenge.

Comments

Angenommen es gäbe eine weitere lineare Abbildung ω:V→V und ω(p):=t•p(t)

Dann wäre diese doch injektiv, da für jedes t∈ℝ eine unterschiedliche Lösung rauskommt oder muss man hier argumentieren mit Kern(ω)=0. und diese müsste dann nicht surjektiv sein, richtig?

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Eigentlich reicht das, du kannst die Polynome aber auch noch explizit angeben, etwa so...

Für jedes Polynom \(p'(x)\) aus der Zielmenge mit$$p'(x)=a_1+a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_nx^n$$gibt es ein Polynom aus der Bildmenge$$p(x)=a_1x+a_2\,\frac{x^2}{2}+a_3\,\frac{x^3}{3}+\cdots+a_n\,\frac{x^{n+1}}{n+1}$$das auf das Ziel abbildet.

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Warum bekomme ich keine Antwort auf meine Frage?

"Was ist denn V ? Und ist \(\Psi\) das Bilden einer Ableitung?"

Wie soll man helfen, wenn die verwendeten Symbole nicht

erklärt/definiert werden :(

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V ist ein Vektorraum und ψ die lineare Abbildung. Tut mir leid, dass ich vergessen habe dies zu nennen.

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Ja, aber das muss doch ein ganz spezieller Vektorraum sein;

denn für einen beliebigen Vektorraum über einem beliebigen

Körper gibt das doch garkeinen Sinn!

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@Tschakabumba: woher weißt du, dass die Abbildung surjektiv ist?

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Wenn wir uns im Vektorraum der Polynome befinden, kann ich für jedes Polynom aus der Zielmenge durch Integration ein Polynom aus der Definitionsmenge angeben.

Das geht allerdings nur, wenn der Grad der Polynome nicht beschränkt ist. Das habe ich einfach vorausgesetzt, da bezüglich \(V\) ja keine Einschränkungen gemacht wurden. (Was nicht explizit verboten ist, ist erlaubt.)

Streng genommen gebe ich dir recht, dass wir zu wenig über \(V\) wissen.

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Ja, das habe ich mir schon gedacht. Aber wollen wir

dem Studenten / der Studentin nicht ans Herz legen, eine komplette

korrekte Aufgabenstellung zu kommunizieren?

Warum will er uns partout nicht mitteilen, was denn V

sein soll. Er sagt uns ja nicht einmal, dass es sich

um einen Vektorraum von Polynomen handelt.

Ferner will er /sie uns nicht sagen, was \(p\mapsto p'\)

bedeuten soll. Mathestudenten und -Studentinnen müssen aber

unbedingt lernen, sich gegenüber anderen "Fachleuten"

klar und deutlich auszudrücken.

Ich habe ja hier nicht rumgenervt, um den/ die Studenten/Studentin

zu ärgern, sondern ich meine:

Mathematisch kommunizienen zu können

ist eine unverzichtbare Kompetenz, die man

im Studium erlangen sollte.

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Hallo Ermanus,

ich halte Deinen Kommentar für sehr wichtig und richtig.

Gruß Mathhilf