vollständige Induktion Summe von Kubikzahlen

Question

\( \sum \limits_{k=1}^{n} k^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=\frac{n^{2} \cdot(n+1)^{2}}{4} \)

Ihr seht folgende Summenformel, diese soll für alle natürliche Zahlen gelten. Diesen Beweis sollen wir mit vollständiger Induktion vornehmen

IA: n=1 —> (1^2*(1+1)^2) / 4 = 1

IV: (n+1)^2*(n+1+1)^2 / 4

IS: Da komme ich leider nicht weiter :/

kann mir jemand helfen?

Comments

Vgl. auch https://www.mathelounge.de/901743/vollstandige-induktion-mit-dem-index-k-1-bis-n-uber-k

Answer 1

Hallo,

deine Induktionsvoraussetzung ist falsch. Sie soll für n gelten.

Der Schritt muss dann für n+1 erfolgen.

IV:

\(\sum \limits_{k=1}^{n} k^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=\frac{n^{2} \cdot(n+1)^{2}}{4} \) gelte für ein bestimmtes n.

I-Schritt:

\(\sum \limits_{k=1}^{n} k^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^3+(n+1)^3\\=\dfrac{n^{2} \cdot(n+1)^{2}}{4} + (n+1)^3  ~~~(*)\)

Wenn du nun nicht weiterkommst, musst du mit dem zu zeigenden Ergebnis weitermachen:

\(   \dfrac{(n+1)^{2} \cdot(n+2)^{2}}{4}  ~~~(**) \)

Wenn du beide Terme vergleichst, siehst du, dass du (n+1)^2 ausklammern und den Rest dann umformen könntest.

\((*)\\=(n+1)^2\cdot(\frac{n^2}{4}+n+1)\\=(n+1)^2\cdot(\frac{n^2+4n+4}{4})\\=(n+1)^2\cdot \dfrac{(n+2)^2}{4}\)

Und schon bist du fertig.

:-)

Comments

achso ja, habe ich irgendwie komplett übersehen

aber ändert trotzdem nichts an meinem problem :(

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Ich habe meine Antwort ergänzt.

:-)

Answer 2

Aloha :)

Die Verankerung hast du ja bereits. Der Induktionsschritt sieht so aus:

$$\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^3=\sum\limits_{k=1}^{n}k^3+(n+1)^3\stackrel{\text{(Ind.Vor.)}}{=}\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3$$

Den letzten Summanden kannst du etwas umformen:$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^3}=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+\frac{4(n+1)(n+1)^2}{4}=n^2\cdot\frac{(n+1)^2}{4}+(4n+4)\cdot\frac{(n+1)^2}{4}$$

Jetzt klammerst du den Bruch aus und verwendest die 1-te binomische Formel:$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^3}=(n^2+4n+4)\cdot\frac{(n+1)^2}{4}=(n+2)^2\cdot\frac{(n+1)^2}{4}=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}$$Damit bist du fertig.