Vollständige Induktion, Summenformel für Kubikzahlen

Question

Hallo ich verstehe beim Induktionsbeweis in der zweiten Zeile nicht wo auf einmal die 4 herkommt bei 4(k+1)^3
und wie man von der zweiten auf die dritte Zeile kommt. Kann mir das jemand erklären?

Comments

Ist die induktion vollständig?

Ist das ergebnis am ende? Der Beweis?

Answer 1

Die 4 entsteht beim Erweitern auf den Hauptnenner: Die Zweite Zeile ist überflüssig. Man kann durch Ausklammern von (k+1)² direkt auf die dritte Zeile kommen. 

Comments

Wie erweitert man auf 4?

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Das mit dem Erweitern hat sich erledigt. Aber wie kommt man von der zweiten auf die dritte Zeile?

Answer 2

Diese Formel wird immer wieder bewiesen. Vgl. "ähnliche Fragen" unten.

Bsp. https://www.mathelounge.de/389170/vollstandige-induktion-summenformel-kubikzahlen-arithmetische 

Du findest Umformungen mit mehr oder weniger Zwischenschritten, wenn du etwas suchst. 

Es schadet nichts, wenn du selbst nicht gleich die kürzest möglichste Umformung auf's Papier bringst oder einen Zwischenschritt nicht brauchst.

"Das mit dem Erweitern hat sich erledigt. Aber wie kommt man von der zweiten auf die dritte Zeile? "

Welche 2. und 3. Zeile denn? Wo soll man mit zählen anfangen? Roland hat geschrieben, dass ausgeklammert wurde. Schau mal, ob das passen könnte. 

Bsp. für Ausklammern: ab + ac = a*(b+c) . Suche ein geeignetes a. 

Answer 3

( k(k+1) / 2 )²  +  ( k + 1 )³  =  ( k^2 * (k + 1)^2 / 4 ) + ( k + 1 )^3 = (Gemeinsame Nenner finden) =

= ( k^2 * ( k + 1 )^2 + 4 * ( k + 1 )^3 ) / 4