Beweise die Summenformel für Kubikzahlen (vollständige Induktion)

Question

$$ 1^3+2^3+....+n^3\quad =\quad \frac { 1 }{ 4 }n^2(n+1)^2 $$
$$ I.A\quad n=1\quad stimmt!  $$
$$ I.S\quad (n+1)^3=\frac { 1 }{ 4 }(n+1)^2((n+1)+1)^2 $$

stimmt das soweit?

ich glaube nicht oder`?

wenn ich weiter mache kommt bei mir nichts gutes raus

Comments

Schau auch mal bei den ähnlichen Fragen rein ;)

Das ist nicht so schwer.

Answer 1

Hi,

1. ist die Gleichung in deinem Induktionsschritt falsch es müsste heißen

$$ 1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n+1)^3 = \frac{1}{4} (n+1)^2((n+1)+1)^2 (*) $$

2. Habe ich das Gefühl, dass du das Prinzip nicht ganz verstanden hast, das obige ist nicht die Art des Beweises sondern es ist die Behauptung die du zeigen möchtest. (wenn deine gleichung für n gilt soll sie auch für n + 1 gelten).

Um dies zu zeigen verwendest du  deine Induktionsvoraussetzung im IS:

$$ 1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n+1)^3 = (1^3 + 2^3 + ... + n^3) + (n+1)^3 $$

$$ = \frac{1}{4} n^2(n+1)^2 + (n+1)^3 $$

jetzt kannst du durch vereinfachen die Gleichung auf (*) bringen

Tipp:  Ausklammern

Comments

ich lass die aufgabe lieber:)

trzd danke für deine Hilfe Yakyu :)

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Kein Problem, versuch dich doch lieber erstmal an "einfacheren" Induktionsaufgaben wie dem kleinen Gauß, dazu gibt es mehrere Lösungswege und viele gute Erklärungen, zum Beispiel

http://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Vollst%C3%A4ndige_Induktion

Answer 2

Hi Emre,

die rechte Seite ist richtig.

Nicht aber die linke. Wo sind all die anderen Summanden hin? Du musst die bisherigen Summanden doch nur um ein Glied erweitern. Dieses eine Glied hast Du hingeschrieben...die anderen vergessen ;O.

Dann nur noch ausrechnen^^.

Comments

Ahhh das war also mein Fehler ^^

also muss ich einfach 1³+2³ zsm rechnen? 1+8=9 also 9(n+1)³ ist dann die Linke Seite?

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oO

Du kannst doch Summanden nicht als Faktoren verwenden.

Zudem gibt es n Summanden davor.

1^3 + 2^3 + ... + n^3

Und wenn man nen Summanden dransetzt:

1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n+1)^3

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hmm ja ..

aber eine frage wie kann ich das dann ...ich meine das geht doch bis n^3? n ist doch eine natürliche zahl? aber jetzt keine genaue?? Oooooooo

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Du weißt doch, dass Du 1^3 + ... + n^3 ersetzen kannst durch die rechte Seite der Induktionsannahme. Dann nur noch vergleichen (wie bei der letzten Frage).