Ich nehme mal an, dass die Lösung nicht einfach die geometrische Reihe mit a1= 1 und q = 1/2 ist oder?

Question

Aufgabe: Ich soll den Konvergenzbereich der Potenzreihe P(x) bestimmen, sowie die
Funktion f(x), welche im Konvergenzbereich durch diese Potenzreihe beschrieben
wird (Hinweise: Summe der geometrischen Reihe).

P(x) = 1 + 0,5x + 0,25x^2 + 0,125x^3+....

Problem/Ansatz:

Ich hab die allgemeine Form Sn= x^n / 2^n schon bestimmt und den Konvergenzbereich berechnet und komme auf -2< x < 2

Nun verstehe ich den zweiten Teil der Aufgabe nicht ganz " Bestimme die
Funktion f(x), welche im Konvergenzbereich durch diese Potenzreihe beschrieben
wird (Hinweise: Summe der geometrischen Reihe)."

Ich nehme mal an, dass die Lösung nicht einfach die geometrische Reihe mit a1= 1 und q = 1/2 ist oder?

Wie soll man stattdessen vorgehen? Vieln Dank im voraus!

Answer 1

Ich nehme mal an, dass die Lösung nicht einfach die geometrische Reihe mit a1= 1 und q = 1/2 ist oder?

q ist wenn dann x/2 oder nicht?

Und wie lässt sich die geometrische Reihe dann noch als Term schreiben?

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{q^k} \) = 1/(1 - q)

Also

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(x/2)^k} \)   = 1/(1 - (x/2)) = 2/(2 - x)

Answer 2

Die Reihe ist doch die geometrische Reihe mit q= x/2 .

Der Wert ist 1 / ( 1-q) hier also

1 / ( 1 - x/2) = 2 / 2-x