Asymptotische Stabilität eines schaltenden Systems

Question

Aufgabe:

Ich habe ein schaltendes System und will die asymptotische Stabilität beweisen.
Das System hat die Form $$\dot{{x}}(t)={A}_{\sigma}\cdot{x}(t)+{B}_{\sigma}\cdot {u}(t)$$ mit konstanten Koeffizienten und dem Eingangssignal u(t).
Hat jemand eine Idee, wie man am besten vorgehen sollte oder schon eine Lösung zu diesem Problem parat?

Comments

ist u und u' bekannt? warum dann nicht einfach die Dgl lösen?

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Ja u ist bekannt. Die DGL zu lösen ist trotzdem nicht so einfach, da es viele verschiedene Teilsysteme sind und die Stabilität zudem von den Schaltvorgängen abhängt.

Answer 1

Allgemein muss gelten, dass die Realteile der Eigenwerte von \( A \) alle auf der linken Seite der komplexen Ebene liegen, d.h.

$$ \max_{i=1, \cdots ,n}  \lambda_i < 0  $$ \( \lambda_i \) Eigenwerte von \( A \)

Comments

Da hast du recht. Ich gehe auch davon aus, dass alle Teilsysteme asymptotisch stabil sind. Aber ich habe hier ein schaltendes System, welches bei ungünstigem Schalten ein instabiles Verhalten zeigen kann. Das Schalten ist jedoch abhängig vom Zustand x(t).

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Ich hab mal in meinen alten Büchern nachgelesen und folgendes gefunden:

Die Dgl. $$ y'(t) = A y(t) + g(t,y(t))  $$ mit $$ \lim_{|y|\to 0 } \frac{ |g(t,y)| }{ |y| } = 0 $$ gleichmäßig für \( 0 \le t < \infty \) und konstanter Matrix \( A \) mit \( \operatorname{Re} \lambda_i < 0 \), dann ist die Lösung \( x(t) \equiv 0 \) asymtotisch stabil.

Deine Dgl. ist ja ein Spezialfall der obigen Dgl. mit \( g(t,y(t)) = B u(t,y(t)) \)

Hilft das weiter?

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Das klingt nicht schlecht. Weißt du, ob man das auch für schaltende Systeme anwenden kann? Theoretisch ist meineσ Matrix A nicht konstant, sondern verändert sich je nach dem was das σ ist. (Die Einträge der Matrix sind aber jedesmal konstante Zahlen)