Wahrscheinlichkeit beim Würfeln zweier gleicher Würfel, dass das Ereignis "Augensumme ist größer als 10" eintritt.

Question

Aufgabe:

Wahrscheinlichkeit beim Würfeln zweier gleicher Würfel, dass das Ereignis "Augensumme ist größer als 10" eintritt.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht ganz, warum die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis $$\frac{3}{36}$$ ist, denn die Würfel sind ja nicht unterscheidbar. Ich kann doch nicht erkennen, welcher Würfel nun bspw. die 5 und welcher die 6 anzeigt. Dennoch gibt es drei für das Ereignis günstige Ergebnisse, nämlich 5+6,6+6 und 6+5.
Als Erklärungsansatz hat man mir gesagt, ich solle mir vorstellen, die Würfel seien künstlich unterscheidbar. Dann verstehe ich aber nicht, warum man bei dem Ergebnis 12 (also 6 + 6) diese Unterscheidung bei zwei gleichen Würfeln nicht vornimmt, denn die Wahrscheinlichkeit, dass "die Augensumme 12 beträgt" ist $$\frac{1}{36}$$.

Ich hoffe ihr versteht meine Problematik und vielleicht ist hier ja ein schlauer Kopf dabei, der mir eine andere Erklärung liefern kann.

Liebe Grüße im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Ich habe dir mal alle möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes in einer Tabelle dargestellt. Die Unterscheidbarkeit der Würfel ist hier nicht wichtig. Es ist egal, welchen Würfel du in die Spalten und welchen du in die Zeilen schreibst. Es ist auch egal, ob du nur einen Würfel hast und diesen 2-mal würfelst. Entscheidend ist, dass das Ergebnis des einen Würfels das Ergebnis des anderen Würfels nicht beeinflusst.

\(+\)	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Das Experiment hat 36 mögliche Ergebnisse. in 3 Fällen erhalten wir eine Augensumme größer als 10. Also ist die Wahrscheinlichkeit dafür \(\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\).

Comments

Super! Dank dir!

Die Tabelle habe ich gekannt. Aber was es für mich erst einleuchtend gemacht hat , war der Satz "Die Unterscheidbarkeit der Würfel ist hier nicht wichtig." Und das leuchtet mir ein :D.
Die Erklärung, dass man sie sich unterschiedlich vorstellen soll, hatte mich nur mehr verwirrt. Vielen Dank :)

Answer 2

Wahrscheinlichkeit beim Würfeln zweier gleicher Würfel, dass das Ereignis "Augensumme ist größer als 10" eintritt.

Man braucht hier natürlich keine Tabelle machen sondern kann auch die drei Möglichkeiten einfach auch notieren:

P(Augensumme ist größer als 10) = P((5, 6), (6, 5), (6, 6)) = 3/36 = 1/12

Comments

Die Möglichkeiten waren mir ja bewusst und auch die Berechnung. Nur der Unterschied zwischen unterscheidbaren und nicht unterscheidbaren Würfeln nicht. Nun weiß ich aber, dass es keinen gibt.

Dennoch danke für deine Antwort.

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Es gibt schon einen unterschied zwischen unterscheidbaren und nicht unterscheidbaren würfeln. nur wird es hier am besten so gerechnet als wenn die Würfel unterscheidbar sind. Weil man dann ein Laplace-Experiment hat. D.h. die Ausgänge (5, 6), (6, 5), (6, 6) haben alle die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Etwas anderes ist es aber wenn man z.B. nach der Anzahl der Möglichkeiten fragt. Wenn die Würfel nicht unterscheidbar sind ist (5, 6) und (6, 5) das gleiche Ereignis und würde nur einmal gezählt werden.

Es gibt also 2 Möglichkeiten bei Wurf mit zwei (nicht unterscheidbaren) Würfeln eine Augensumme größer als 10 zu werfen.

Diese beiden Möglichkeiten haben allerdings jetzt nicht die gleiche Wahrscheinlichkeit weshalb man damit möglichst keine Wahrscheinlichkeiten bestimmen sollte.

Da gibt es ein ganz bekannte Aufgabe dazu. Leider finde ich die nur gerade nicht.

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Ah ich habs gefunden. Das war das drei Würfel Problem von Chevalier de Méré

https://unterrichten.zum.de/wiki/Laplace-Wahrscheinlichkeit_wiederholen_und_vertiefen/Drei-W%C3%BCrfel-Problem

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!!! Ah! Wir hätten bei nicht unterscheidbaren Würfeln, wenn wir die Augensumme betrachten, kein Laplace-Experiment mehr, weil es mehr Möglichkeiten gibt, bspw. die Augensumme 7 zu erhalten, als etwa die Augensumme 12.
Das erklärt auch, warum ich mir aufgeschrieben habe, dass die Mächtigkeit der Ergebnismenge beim Würfeln zweier gleicher Würfel 21 ist, obwohl man mit dieser 21 in der Laplace-Regel gar nicht rechnet, um auf die 3/36 zu kommen!

Ah super, vielen lieben Dank! Das hat mich jetzt noch weiter erhellt! Wahrscheinlichkeitsrechnung ist echt nicht so meins .

Kann ich dann noch gerade zwei Nachfrage stellen?
- Einmal verwendest du geschweifte Klammern und einmal runde Klammern. Habe ich das richtig in Erinnerung, dass bei den runden Klammern die Reihenfolge in den Tupeln egal ist? Also (5,6) = (6,5) aber {5,6} ungleich {6,5}?

- Du schreibst

Wenn die Würfel nicht unterscheidbar sind ist (5, 6) und (6, 5) das gleiche Ereignis

Ich dachte, das wären dann die gleichen Ergebnisse und nicht die gleichen Ereignisse. Oder verstehe ich da schon wieder was falsch ?

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Danke auch für den Link!
Ich bin gerade so happy, dass ich es richtig verstanden habe Hatte es damals an der Uni schon nicht so wirklich kapiert und den Prof gefragt, aber der hat mir nur gesagt "Stellen sie sich einfach vor, sie wären unterscheidbar", aber warum ich mir das vorstellen soll, hat er nicht gesagt. Dank deiner Erklärung habe ich es jetzt nach Jahren verstanden!

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Bei den Runden Klammern (Tupeln) ist die Reihenfolge nicht egal also

(5, 6) ≠ (6, 5)

Bei Mengenklammern ist die Reihenfolge egal

{5, 6} = {6, 5}

Ich gebe zu das ich das oben nicht konsequent genug eingesetzt habe und das es dadurch zu Verwirrungen führt.

Man sollte also schreiben

P((5, 6), (6, 5), (6, 6)) = 3/36 = 1/12

um hier deutlich zu machen das das drei verschiedene Ausgänge sind die man unterscheidet.

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Danke dir :)