Berechnen Sie näherungsweise mit dem Zentralen Grenzwertsatz die Wahrscheinlichkeit,

Question

Hallo Leute, könnte mir bitte jemand helfen, diese Aufgabe zu lösen , ich wäre sehr dankbar,

Aufgabe:

Bei einer Fluggesellschaft weiß man aus Erfahrung, dass im Mittel
18% der Personen, die einen Platz reservieren lassen, nicht erscheinen. Um die Zahl der ungenutzten Plätze nicht zu groß werden zu lassen, werden daher fur einen 220-sitzigen Jet mehr als 220 Reservierungen vorgenommen.
a) Berechnen Sie näherungsweise mit dem Zentralen Grenzwertsatz die Wahrscheinlichkeit,
dass alle zum Abflug erscheinenden Personen, für die ein Platz reserviert wurde, auch einen
Platz erhalten, wenn 240 Reservierungen vorgenommen wurden. Nehmen Sie dabei an, dass
die Entscheidungen, ob die einzelnen Reservierungen wahrgenommen werden, individuell, d.h.
unabhängig zustande kommen. (3 P.)

b) Wie viele Platzreservierungen dürfen höchstens vorgenommen werden, damit die entsprechende Wahrscheinlichkeit mindestens 99% beträgt? Geben Sie eine Näherungslösung an. (4
P.)
Hinweis: Setze X = die Summe von n=1 bis N, Xn die Anzahl der zum Abflug erscheinenden Personen und berechne
P(X ≤ 220).

Answer 1

a)

Berechnung über die Binomialverteilung
n = 240 ; p = 0.82
P(0 ≤ x ≤ 220) = ∑ (x = 0 bis 220) ((240 über x)·0.82^x·0.18^(240 - x)) = 0.9999932410

Berechnung über die Normalverteilung (näherungsweise mit dem Zentralen Grenzwertsatz)
μ = n·p = 240·0.82 = 196.8
σ = √(n·p·(1 - p)) = √(240·0.82·0.18) = 5.952

P(0 ≤ x ≤ 220) = Φ((220.5 - 196.8)/5.952) = Φ(3.98) = 0.99997
(https://de.wikipedia.org/wiki/Standardnormalverteilungstabelle)