Ich suche eine explizite Darstellung einer Folge

Question

Aufgabe:Ich suche die explizite Darstellung einer rekursiven Folge

Problem/Ansatz: a (n; k) , n, k ∈ ℕ

0<k≤n

a(1 ; 1)= 1.

a (n ; 1)= 1.     a (n ; n) = (n-1)!

a ( n+1 ; k )  = a (n ; k) + n * a ( n ; k-1)

Ich suche eine explizite Darstellung

von a( n ; k )

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\( \begin{matrix} 1  \\ 1 & 1\\ 1 & 3& 2\\ 1 & 6 & 11& 6\\ 1 & 10 & 35 & 50 & 24\\ 1 & 15 & 85 & 225 & 274 & 120\\ 1 & 21 & 175 &  735 & 1624 & 1764 & 720 \\ 1 & 28 & \end{matrix} \)

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war  leider falsch, sorry

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die Tabelle verstehe ich nicht.

lul

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Zur Tabelle

Von oben nach unten

In der 1. Zeile n=1

In der 2. Zeile n=2

usw

Von links nach rechts

In der 1  Spalte k=1

In der 2. Spalte k=2

usw

In der 4. Zeile und 3. Spalte steht 11

Das bedeutet, dass a (4;3) =11

a ( n+1 ; k )  = a (n ; k) + n * a ( n ; k-1)

n=4 k=3

a ( 5; 3) = a ( 4 ; 3) + 4* ( 4 ;2)

35 = 11 + 4*6

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@hogar

Das ist aber nicht explizit, sondern rekursiv.

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@Abakus, ja darum geht es , die explizite Form suche ich, die rekursive kann ich angeben.

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Ist meine Frage unverständlich?

Ich kann rekursiv angeben, wie die Folgeglieder ermittelt werden.

Ich suche eine explizite Darstellung damit ich bei a(1000;543) nicht erst die Folgeglieder davor berechnen muss.

Sicher kann ich das auch einige Tausend Glieder mit Excel bestimmen, doch ich dachte, dass es hier jemanden gibt, der mir bei der expliziten Form helfen kann.

Einiges habe ich ja auch schon beigesteuert, in der Diagonale steht

z.B (n-1)! In der zweiten Spalte steht die Summe der natürlichen Zahlen.

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Woran liegt es, dass ich keine Antwort bekomme? Drücke ich mich nicht klar genug aus, oder bin ich nicht freundlich genug?

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Hallo Hogar,

ich vermute, du bekommst keine Antwort, weil es bisher niemand lösen konnte.

So irritiert mich, wieso der Index bei 0 beginnt, aber im Bildungsgesetz nicht erwähnt wird. Vermutlich meinst du a(0;0) statt a(1;1).

Dann ist noch merkwürdig, dass die ganz rechten Zahlen mit Fakultät definiert sind, aber irgendwie nicht in die jeweilige Zeile passen, da die Zahlen in jeder Zeile zunächst wachsen, bei der letzten aber abrupt absinken.

Da musst du wohl mit einer Tabellenkalkulation deines Vertrauens ran.

:-)

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Hallo MontyPython

2. Zeile 1 ;  3. ;  2

3. Zeile. 1 ; 6. ; 11;  6

          6=  3*1 +3

          11= 3*3 +2

           6 = 3* 2 +(0) denn darüber steht nichts

4. Zeile 1 ; 10 ; 35 ; 50 ; 24

             10 = 4*1 +6

             35 = 4*6. +11

              50 = 4*11 + 6

               24 = 4*6

die Fakultät bei den letzten Werten ergibt sich aus dem Bildungsgesetz

Es ist vergleichbar mit den Binominalkoeffizienten, nur dass hier noch ein Faktor davor geschrieben wird.

Es sind die Koeffizienten, die entstehen, wenn du

x *( x+1)*(x+2)*(x+3)*(x+4) ... multiplizierst,

ich weiß nicht mehr wie man die nennt, irgendetwas mit oberer Exponent oder so, doch es gab hier einen, die Ableitung und das Integral dafür gesucht hat. Da dachte ich mir, wenn es möglich ist eine explizite Form zu finden, dann ist der Rest einfach. liebe Grüße und danke für deine Mühe

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Hallo Hogar,

ich habe es mal versucht, aber nicht zu einer expliziten Formel geschafft. Immerhin habe ich herausgefunden, dass die Koeffizienten zu folgendem Polynom gehören:

$$P_n(x):=x(1+x)(1+2x) \cdots (1+(n-1)x)= \sum_{k=1}^n a(n,k)x^k$$

Das beantwortet Deine Frage nicht, dokumentiert aber unseren guten Willen, uns mit Deiner Frage zu beschäftigen ;-)

Gruß

PS: Noch ein Nachtrag: Eine explizite Formel sieht natürlich immer eleganter aus als eine Rekursion. Ob es aber letztlich rechnerisch einfacher ist, die Formel auszuwerten oder die Rekursion, ist eine ganz andere Frage. Letzten Endes ist eine Summe auch nur eine Rekursion.

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Danke,

doch für n =6 sind die a (n k) ja genau die Werte, die ich in der vorletzten Zeile hingeschrieben habe.

Schön, dass du die Beziehung nochmal
aufgeschrieben hast, doch das war mir klar, darum habe ich doch die rekursive Formel aufgeschrieben, um eine explizite Form für die a(n , k) zu finden.

Das ist dann etwa so wie beim

Pascalschen Dreieck,

\( \begin{matrix} 1 \\ 1& 1 \\ 1& 2 & 1 \\ 1& 3 & 3 & 1  \\  \end{matrix} \)  das ist ganz schön,

dort stehen auch als Einträge die

\( \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \)

Doch erst mit der Erkenntnis, dass

\( \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \) = \( \frac{n!}{k!*(n-k)!} \) 

Ist es doch möglich, damit so umzugehen, wie wir es heute können.

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https://oeis.org/A094638/internal

Hier gibt es einige Infos zu der Zahlenfolge.

:-)

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Ich habe gefunden, dass es sich um die Stirling-Zahlen 1. Art handelt.

Die Summe der Zahlen in der n-ten Zeile ist gleich (n+1)!

:-)

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@MontyPhython

ja, nur in umgekehrter Reihenfolge.

s (n, n) = 1 ; s(n,1) =(n-1)!

das habe ich auch raus gefunden, nach dem ich die auf den Diagonalen stehenden Zahlenfolgen eingegeben habe.

Vermutlich hätte ich die Zeilen in der anderen Reihenfolge schreiben sollen.

Vielen Dank für deine Mühe.

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Vielen Dank an alle, die sich beteiligt haben.

Answer 1

Wolframalpha hilft mit S1(n,k).

:-)

Allerdings werden die Zahlen mit Vorzeichen angezeigt.

Beispiel:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=S1%28100%2C28%29

PS: Da dürfte Excel kapitulieren. :-)

Comments

Excel in Verbindung mit  oeis.org hat auch geklappt, hat nur länger gedauert. :-)