Relativer Periodenzinssatz. Wan sollen wie Wurzel ziehen und wann durch die Anzahl der Perioden teilen?

Question

Hi,

 

wan sollen wie Wurzel ziehen und wann durch die Anzahl der Perioden teilen, wenn wenn wir einen z.B. monatlichen Zinssatz finden wollen.

 

Z.B. beträgt der jährlicher Zinssatz 10%.

Im=10/12=0,83

Im=10^1/12-1=0,21

 

Was sagt uns der Wert 0,83 aus und was 0,21 aus? Ist es so, die 0,21 jeden Monat mitaufgezinst werden und 0,83 nicht?

Warum, wenn man sagt, dass die Zinsabrechnung monatlich erfolgt, meint man den Wert 0,83, aber nicht 0,21?

 

Answer 1

Schau dir die Definitionen des relativen Periodenzinssatzes und des konformen Periodenzinssatzes an.

Der relative Periodenzinssatz i_rel ist einfach der Zinssatz für den Gesamtzeitraum aller Perioden dividiert durch die Anzahl der Perioden. Bei einem nominalen Jahreszinssatz von z.B. i = 10 % = 0,1 und monatlicher Zinsperiode beträgt beträgt der relative Periodenzinssatz i_rel also ein Zwölftel des Jahreszinssatzes: 

i_rel = i / 12 = 0,1 / 12 = 0,008333 = 0,8333 % (gerundet)

Dieser Zinssatz gibt an, wieviel Zinsen monatlich auszuzahlen (also nicht dem Kapital zuzuschlagen) sind, um am Ende des Jahres denselben Zinsbetrag zu erhalten wie bei einmaliger Zinszahlung am Jahresende. Die ausgezahlten Zinsen werden also in den folgenden Perioden nicht mitverzinst (keine Zinseszinsen).

Beispiel:

Bei einem Anfangskapital von 100 Euro und einem Jahreszinssatz von 10 % ergibt sich bei einmaliger Verzinsung am Jahresende ein Zinsbetrag von Z₁ = 100 * 0,1 = 10 Euro. 

Dasselbe Kapital ergibt sich, wenn monatlich 0,8333 % des Kapitals ausgezahlt werden. Man erhält dann nämlich im Laufe des Jahres insgesamt:

12 * 0,008333 * 100 Euro= 10 Euro

Zinsen und hat mithin am Ende des Jahres ebenfalls 110 Euro.

 

Der konforme Periodenzinssatz i_kon hingegen ist derjenige Periodenzinssatz, der bei periodischer (z.B. monatlicher) Verzinsung dem Kapital hinzugeschlagen (also in den folgenden Zinsperioden mitverzinst) werden müsste, um denselben Zinsbetrag zu erzielen, wie bei einmaliger Verzinsung mit dem nominellen Zinssatz i am Ende aller Perioden (z.B. am Ende eines Jahres)

Den konformen Periodenzinssatz i_kon kann man so herleiten:

Einmalige Verzinsung nach einem Zeitraum T (z.B. nach einem Jahr) mit dem nominellen Zinssatz i ergibt: 

K_i,1= K₀ * ( 1 + i ) ¹

n - malige Verzinsung nach jeweils einer Periode der Länge T / n mit einem periodischen Zinssatz von i_kon ergibt:

K_ikon,n = K₀ * ( 1 + i_kon ) ⁿ

Es soll nun gelten: K_i,1 = K_ikon,n , also:

K₀ * ( 1 + i ) = K₀ * ( 1 + i_kon ) ⁿ

<=> ( 1 + i ) = ( 1 + i_kon ) ⁿ

<=> ⁿ√ ( 1 + i ) = 1 + i_kon

<=> i_kon  = ⁿ√ ( 1 + i ) - 1

Mit dieser Formel kann also der konforme Periodenzinssatz i_kon aus dem nominellen Zinssatz i berechnet werden.

Setzt man hier nun z.B. ein:

i = 10 % = 0,1
n = 12

so erhält man:

i_kon = ¹²√ ( 1,1 ) - 1 = 0,00797 = 0,797 % (gerundet)

Um also bei monatlicher Verzinsung dasselbe Endkapital zu erreichen wie bei einmaliger Verzinsung mit dem Jahreszinssatz i muss monatlich mit dem konformen Monatszinssatz i_kon = ¹²√ ( 1 + i ) - 1 verzinst werden.