Question

Wie finde ich Vektoren, die linear unabhängig zu einer gegebenen Familie aus linear unabhängigen Vektoren, ohne großes Herumprobieren?

Ich versuche gerade, einer Jordan-Normalform aufzustellen, aber ich muss jetzt zwei weitere Vektoren finden, die zur folgenden Familie linear unabhängig sind:

$$F=(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix})$$

Manche erkenne direkt welche zwei Vektoren unabhängig zu den obigen Vektoren sind, ich erkenne dies jedoch nicht so schnell. Also kennt jemand die Vorgehensweise oder hat Ratschläge, wie man solche Vektoren findet?

Answer 1

Wie ist das mit [1, 0, 0, 0, 0] und [0, 1, 0, 0, 0] ?

Auf [1, 0, 0, 0, 0] kommst du recht einfach weil keiner der gegebenen Vektoren die erste Komponente enthält.

Du musst aber imstande sein mit 5 linear unabhängigen Vektoren jeden beliebigen Vektor darzustellen.

Wie kannst du also den Vektor

[a, b, c, d, e] darstellen

Naja

c·[0, 1, 1, 0, 0] + d·[0, -1, 0, 1, 0] + e·[0, 1, 0, 0, 1] = [0, c-d+e, c, d, e]

Dummerweise hast du so erstmal nur die 3 letzten komponenten. Du musst aber auch noch die ersten zwei Komponenten frei wählen können. Daher kannst du beide Komponenten als eigenständigen Vektor nehmen.

Comments

Also letzten Endes ist es doch herumprobieren und schauen welcher Vektor nicht durch die anderen als Linear Kombination dargestellt werden kann

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Ja. Aber gerade bei den gegebenen Vektoren ist das offensichtlich. Daher kann man das sofort sehen. Ansonsten kannst du auch die gegebenen Vektoren über das Gauss-Verfahren in eine Standardbasis bringen und dann siehst du was dir noch fehlt.

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Also letzten Endes ist es doch herumprobieren

Hast du dir meine Antwort durchgelesen?

Answer 2

Man sieht z. B. sofort, dass alle drei Vektoren im ersten Eintrag eine Null haben. Folglich wäre jeder weitere Vektor, der in diesem Eintrag keine Null stehen hat, ein Vektor, den du suchst. Nimm dabei einen möglichst einfachen, z. B. \((1,0,0,0,0)^T\).

Answer 3

Mit dem Austauschsatz von Steinitz kann man in der Basis B=(b₁, ..., b_n) den Vektor b_k durch den Vektor v≠0 ersetzen, falls für die Linearkombination

        v = ∑α_ib_i

gilt, dass

        α_k ≠ 0

ist. Fange also mit der Standardbasis an und tausche nacheinander die Vektoren von F rein.

Comments

Hey oswald, habe jetzt deine Antwort gesehen. Kann ich das einfach machen, ohne die Span dieser Vektoren zu verändern? Also wenn der ganze Raum von 6 Standardbasisvektoren ausgespannt wird, ich aber nur 5 brauche, ist einer zu viel da. Woher weiß ich welcher überflüssig ist?

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Angenommen du hast

\(F = \left\{ \begin{matrix} 1\\1\\0 \end{matrix} \right\}\)

und möchtest \(F\) ergänzen zu einer Basis der Ebene \(E\), die durch den Ursprung und die Punkte (-2|-2|0) und (3|3|2) verläuft.

Eine Basis von \(E\) ist

\(B = \left\{ \begin{matrix} -2\\-2\\0 \end{matrix}, \begin{matrix} 3\\3\\2 \end{matrix} \right\}\).

Dann stellst du die Gleichung

\( \begin{matrix} 1\\1\\0 \end{matrix} = r \cdot \begin{matrix} -2\\-2\\0 \end{matrix} + s \cdot \begin{matrix} 3\\3\\2 \end{matrix} \)

auf und löst sie. Lösung ist \(r=-\frac{1}{2},s=0\).

Wegen \(r\neq 0\) darfst du \( \begin{matrix} -2\\-2\\0 \end{matrix} \) durch \( \begin{matrix} 1\\1\\0 \end{matrix} \) ersetzen. Somit ist

\(B' = \left\{ \begin{matrix} 1\\1\\0 \end{matrix}, \begin{matrix} 3\\3\\2 \end{matrix} \right\}\)

ebenfalls eine Basis von \(E\).

Wie du in anderen Fällen auf die erste Basis \(B\) kommst, hängt von der konkreten Situation ab.