Zeigen Sie, dass im ℚ-Vektorraum ℝ die Familie (√2, √3) linear unabhängig ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass im ℚ-Vektorraum ℝ die Familie (√2, √3) linear unabhängig ist.

Problem/Ansatz:

Meine Idee ist folgende: Sei a,b∈ℝ, dann ist folgendes Gleichungssystem zu lösen:
a * √2 + b * √3 = 0

Ich habe mit dem Gauß-Verfahren folgendes rausbekommen.

a= -b*(√6)/2
b = b

Nun verstehe ich aber nicht ganz, wie ich damit die lineare unabhängigkeit begründen soll.

Answer 1

Der Beweis der linearen Unabhängigkeit funktioniert so

ähnlich wie der Beweis der Irrationalität von \(\sqrt{2}\), wie

er von Euklid überliefert wurde.

Angenommen, es gäbe rationale Zahlen \(p,q\),

die nicht beide \(=0\) sind mit

\(p\sqrt{2}+q\sqrt{3}=0\), dann gilt sogar \(p \neq 0\wedge q\neq 0\).

Indem man mit dem Hauptnenner von \(p\) und \(q\) multiplziert,

kann man annehmen, dass \(p\) und \(q\) ganz sind und

indem man durch den ggT von \(p\) und \(q\) teilt, kann man

annehmen, dass \(p\) und \(q\) teilerfremd sind. Nun schließe man:

\(p\sqrt{2}=-q\sqrt{3}\Rightarrow 2p^2=3q^2\Rightarrow 2|q\Rightarrow 4|3q^2\Rightarrow\)

\(4|2p^2\Rightarrow 2|p\). Widerspruch zur Teilerfremdheit von \(p\) und \(q\).

Answer 2

a= -b*(√6)/2 . Angenommen, es gäbe eine Lösung mit b≠0

dann hätte man a und b aus ℚ mit -a/b = (√6)/2.

Also Quotient zweier rationaler Zahlen,

der keine rationale Zahl ist. Widerspruch !

Somit bleibt nur b=0 und damit auch a=0, also

linear unabh.

Answer 3

a= -b*(√6)/2

Es ist \(\sqrt{6}\notin \mathbb{Q}\).

Also ist \(-\frac{b}{2}\cdot \sqrt{6}\notin \mathbb{Q}\) für alle \(b\in \mathbb{Q}\) mit \(b\neq 0\).

Wegen \(a\in \mathbb{Q}\) ist \(-\frac{b}{2}\cdot \sqrt{6}\in \mathbb{Q}\).

Also ist \(b=0\) und somit \(a=0\).