Sei V ein ℚ -Vektorraum, φ ∶ V → V additiv. Zeigen Sie, dass φ ℚ -linear ist.

Question

Sei \( V \) ein \( \mathbb{Q} \) Vektorraum, und sei \( \varphi: V \rightarrow V \) additiv, d.h. es gelte \( (u+v) \varphi=u \varphi+v \varphi \) für alle \( u, v \in V \). Zeigen Sie, dass \( \varphi \) dann schon \( \mathbb{Q} \) -linear ist.

Answer 1

Es ist $$\varphi(0)=\varphi(0+0)=\varphi(0)+\varphi(0) \Rightarrow \varphi(0)=0$$. Per Induktion gilt damit für alle natürlichen Zahlen n: $$\varphi(nv)=n\varphi(v)$$ und \varphi(-nv)=-n\varphi(v)$$. Ferner gilt für natürliche m, dass $$ \varphi(\frac{1}{m} v)=\frac{1}{m}\varphi(v)$$, denn $$v=\varphi(1\cdot v)=\varphi(\frac{m}{m} v)=m \varphi\frac{1}{m} v)$$. Damit die Behauptung.

Comments

Es ist \( \varphi(0)=\varphi(0+0)=\varphi(0)+\varphi(0) \Rightarrow \varphi(0)=0 \)
Per Induktion gilt damit für alle natürlichen Zahlen \( n: \varphi(n v)=n \varphi(v) \) und \( \rho(-n v)=-n \varphi(v) \). Ferner gilt für natürliche \( m \), dass \( \varphi\left(\frac{1}{m} v\right)=\frac{1}{m} \varphi(v) \), denn \( \left.v=\varphi(1 \cdot v)=\varphi\left(\frac{m}{m} v\right)=m \varphi \frac{1}{m} v\right) \$ \$ \).

Damit die Behauptung

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\( \varphi(-nv)=-n\varphi(v). \)

Ferner gilt für natürliche m, dass \( \varphi(\frac{1}{m} v)=\frac{1}{m}\varphi(v),dennv=\varphi(1\cdot v)=\varphi(\frac{m}{m} v)=m \varphi\frac{1}{m} v) \)