Berechnen Sie die Transformationsmatrix von der Basis \mathcal{B} in die Basis \mathcal{C} .

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( \mathcal{P}_{2} \) der Vektorraum aller Polynome mit Grad 2 oder weniger. Seien die folgende Basen von \( \mathcal{P}_{2} \) gegeben:
\( \begin{array}{l} \mathcal{B}=\left(-2 \mathbf{m}_{0}+\mathbf{m}_{1}+\mathbf{m}_{2}, 2 \mathbf{m}_{0}-\mathbf{m}_{\mathbf{2}}, \mathbf{m}_{0}-\mathbf{m}_{\mathbf{2}}\right) \\ \mathcal{C}=\left(2 \mathbf{m}_{0}-\mathbf{m}_{\mathbf{1}}+\mathbf{m}_{\mathbf{2}}, 2 \mathbf{m}_{\mathbf{0}}-2 \mathbf{m}_{\mathbf{1}}+\mathbf{m}_{\mathbf{2}},-\mathbf{m}_{0}+\mathbf{m}_{1}\right) \end{array} \)
a. Berechnen Sie die Transformationsmatrix von der Basis \( \mathcal{B} \) in die Basis \( \mathcal{C} \).
b. Berechnen Sie die Transformationsmatrix von der Basis \( \mathcal{C} \) in die Basis \( \mathcal{B} \).

Problem/Ansatz:

habe ich die Aufgabe richtig gelöst? Vielen Dank im Voraus.

Comments

Text erkannt:

\( B=(\frac{-2 m_{0}+m_{1}+m_{2}}{b_{1}}, \frac{2 m_{0}-m_{2}}{b_{2}}, \underbrace{m_{0}-m_{2}}_{b_{3}}) \quad \sqrt{T_{C}-B} \)
\( c=(\underbrace{2 m_{0}}_{c_{1}}-m_{1}+m_{2}, \underbrace{2_{m_{0}}-2 m_{1}+m_{2}}_{c_{2}},-\underbrace{m_{0}+m_{1}}_{c_{3}}) \)
\( b_{1}=\alpha_{1} \cdot c_{1}+\beta_{1} \cdot c_{2}+\gamma_{1} \cdot c_{3} \)
\( =\alpha_{1} \cdot\left(2 m_{0}-m_{1}+m_{2}\right)+\beta_{1} \cdot\left(2 m_{0}-2 m_{1}+m_{2}\right)+\gamma_{1} \cdot\left(-m_{0}+m_{1}\right) \)
\( -2 m_{0}+m_{1}+m_{2}=m_{0} \cdot\left(2 \alpha_{1}+2 \cdot \beta_{1}-\gamma_{1}\right)+m_{1} \cdot\left(-\alpha_{1}-2 \beta+\gamma_{1}\right)+m_{2} \cdot\left(\alpha_{1}+\beta_{1}\right) \)
\( \begin{array}{l}-8 m_{0}=2 \alpha_{1}+2 \cdot \beta_{1}-\gamma_{1} \\ m_{1}=-\alpha_{1}-2 \beta_{1}+\gamma_{1} \\ m_{2}=\alpha_{1}+\beta_{1}\end{array} \quad\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -1 \\ -1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}\alpha_{1} \\ \beta_{1} \\ \gamma_{1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)=\beta_{1} \),
\( \left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -1 \\ -1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}\alpha_{2} \\ \beta_{2} \\ \gamma_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)=B_{2} \)
\( \left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -1 \\ -1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}\alpha_{1} & \alpha_{2} & \gamma_{1} \\ \beta_{1} & \beta_{2} & \gamma_{2} \\ \gamma_{1} & \gamma_{2} & \gamma_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-2 & ? & 1 / \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -1\end{array}\right)= \)
\( \left.\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -1 \\ -1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right) \cdot \begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & 1 \\ -2 & -3 & -2 \\ 0 & -4 & -3\end{array}\right) \)
()\( ^{-1}\left(\rightarrow\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 1 \\ 6 & 9 & -4 \\ -8 & -12 & 5\end{array}\right)=\right. \)

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wir kennen die Darstellung der Basis \(B\) bezüglich der Basis \(M\) und die Darstellung der Matrix \(C\) bezüglich der Basis \(M\). Daher kennen wir auch die Transformationmatrizen von \(B\) nach \(M\) und von \(C\) nach \(M\):

$${_M}\mathbf{id}_B=\left(\begin{array}{rrr}-2 & 2 & 1\\1 & 0 & 0\\1 & -1 & -1\end{array}\right)\quad;\quad{_M}\mathbf{id}_C=\left(\begin{array}{rrr}2 & 2 & -1\\-1 & -2 & 1\\1 & 1 & 0\end{array}\right)$$

Damit bestimmen wir die Transforamtionsmatrix von \(B\) nach \(C\):$${_C}\mathbf{id}_B={_C}\mathbf{id}_M\cdot{_M}\mathbf{id}_B=\left({_M}\mathbf{id}_C\right)^{-1}\cdot{_M}\mathbf{id}_B=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 1\\2 & -3 & -2\\4 & -4 & -3\end{array}\right)$$

und die Transformationsmatrix von \(C\) nach \(B\):$${_B}\mathbf{id}_C=\left({_C}\mathbf{id}_B\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}-1 & -2 & 1\\2 & 1 & 0\\-4 & -4 & 1\end{array}\right)$$