Basiswechsel und Transformationsmatrix

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Die lineare Abbildung \( L: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) habe bezüglich der kanonischen Basis \( \mathcal{E}=\left(\underline{\mathbf{e}}^{(1)}, \underline{\mathbf{e}}^{(2)}\right) \) die Matrixdarstellung
\( A_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{array}\right) \text {. } \)
Finden Sie eine Basis \( \mathcal{F}=\left(\underline{\mathbf{f}}^{(1)}, \underline{\mathbf{f}}^{(2)}\right) \) von \( \mathbb{R}^{2} \) so, dass \( L \) bezüglich \( \mathcal{F} \) die Matrixdarstellung
\( A_{\mathcal{F}}^{\mathcal{F}}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \)
hat. Berechnen Sie die Transformationsmatrix, die den Basiswechsel von der Basis \( \mathcal{E} \) zur Basis \( \mathcal{F} \) beschreibt.

Problem/Ansatz:

… Hallo, kann mir bitte jemand Aufgabe erklären ?

Answer 1

Aloha :)

$$A_E^E=\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\-1 & -1\end{array}\right)\quad;\quad A_F^F=\left(\begin{array}{rr}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)$$

Wir tun so, als hätten wir die Basiswechselmatrix von \(F\) nach \(E\) bereits gefunden:$$\mathbf{id}_E^F=\left(\begin{array}{rr}f_{11} & f_{12}\\f_{21} & f_{22}\end{array}\right)$$

Dann können wir die Matrix \(A_E^F\) mit Eingangsgrößen bezüglich der Basis \(F\) und Ausgangsgrößen bezüglich der Basis \(E\) auf zwei Arten schreiben:$$A_E^F=A_E^E\cdot \mathbf{id}_E^F=\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\-1 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}f_{11} & f_{12}\\f_{21} & f_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}f_{11}+f_{21} & f_{12}+f_{22}\\-f_{11}-f_{21} & -f_{12}-f_{22}\end{array}\right)$$$$A_E^F=\mathbf{id}_E^F\cdot A_F^F=\left(\begin{array}{rr}f_{11} & f_{12}\\f_{21} & f_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}0 & f_{11}\\0 & f_{21}\end{array}\right)$$

Die beiden Matrizen rechts müssen gleich sein:$$\left(\begin{array}{rr}f_{11}+f_{21} & f_{12}+f_{22}\\-f_{11}-f_{21} & -f_{12}-f_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}0 & f_{11}\\0 & f_{21}\end{array}\right)$$Daraus lesen wir folgende Forderungen ab:$$f_{11}=-f_{21}\;\land\;f_{12}+f_{22}=f_{11}$$

Es gibt offensichtlich unendlich viele Übergangsmatrizen, die diese Forderungen erfüllen. Wir wählen \(f_{11}=1\) und \(f_{12}=0\), dann muss \(f_{21}=-1\) und \(f_{22}=1\) sein:$$\mathbf{id}_E^F=\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\-1 & 1\end{array}\right)$$Eine mögliche Basis wäre also:$$F=\left(\binom{1}{-1},\binom{0}{1}\right)$$