Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Ich weiß auch nicht, wie man auf die dir bekannte Lösung kommt, sie ist nämlich falsch. Das richtige Ergebnis ist die transponierte Matrix von deiner Lösung.
Die Transformationsmatrix \(T\) soll die Basis \(A\) in die Basis \(B\) überführen. Das liefert uns 3 Gleichungen:$$\red{T\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\quad;\quad \blue{T\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\quad;\quad T\cdot\begin{pmatrix}0\\\sin\alpha\\\cos\alpha\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$
Durch die Multiplikation der Matrix \(\red{T}\) mit dem Vektor \(\red{(1;0;0)^T}\) wird die erste Spalte der Matrix \(T\) ausgewählt und diese soll gleich \(\red{(1;0;0)^T}\) sein:$$T=\left(\begin{array}{rrr}\red 1 & t_{12} & t_{13}\\\red 0 & t_{22} & t_{23}\\\red 0 & t_{32} & t_{33}\end{array}\right)$$
Durch die Multiplikation der Matrix \(\blue{T}\) mit dem Vektor \(\blue{(0;0;-1)^T}\) wird die letzte Spalte der Matrix \(T\) ausgewählt und negiert. Das Ergebnis soll \(\blue{(0;1;0)^T}\) sein:$$T=\left(\begin{array}{rrr}\red 1 & t_{12} & \blue0\\\red 0 & t_{22} & \blue{-1}\\\red 0 & t_{32} & \blue0\end{array}\right)$$
Jetzt kennen wir die Matrix \(T\) schon fast und können die letzte Gleichung ausrechnen:$$T\cdot\begin{pmatrix}0\\\sin\alpha\\\cos\alpha\end{pmatrix}=\sin\alpha\cdot\begin{pmatrix}t_{12}\\t_{22}\\t_{33}\end{pmatrix}+\cos\alpha\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\implies$$$$\begin{pmatrix}t_{12}\cdot\sin\alpha\\t_{22}\cdot\sin\alpha-\cos\alpha\\t_{33}\cdot\sin\alpha\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\implies\begin{pmatrix}t_{12}\\t_{22}\\t_{32}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[1ex]\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\\[1ex]\frac{1}{\sin\alpha}\end{pmatrix}$$
Damit haben wir als Übergangsmatrix gefunden:$$T=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\[1ex]0 & \frac{1}{\tan\alpha} &-1\\[1ex]0 & \frac{1}{\sin\alpha} & 0\end{array}\right)$$
Alternativ zu dem genannten Vorgehen, kannst du die 3 Gleichungen auch zu einer Matrix-Gleichung zusammen:$$T\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 0 & \sin\alpha\\0 & -1 & \cos\alpha\end{array}\right)=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$
Offensichtlich erhalten wir dann \(T\) als die inverse Matrix zu derjenigen, die die Basisvektoren von \(A\) als Spalten enhält:$$T=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 0 & \sin\alpha\\0 & -1 & \cos\alpha\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\[1ex]0 & \frac{1}{\tan\alpha} & -1\\[1ex]0 & \frac{1}{\sin\alpha} & 0\end{array}\right)$$
