ich möchte folgendes zeigen und bin mir aber nicht ganz sicher ob meine Argumentation richtig ist
Betrachte f: $$ \mathbb{R} \setminus 0 \rightarrow \mathbb{R} $$, x-> x*sin(1/x)
f besitzt stetige Fortsetzung in 0 durch
$$ g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$
x-> f(x) für x ungleich 0, 0 sonst
Zu zeigen: g ist stetig in 0.
0 ist Häufungspunkt von $$\mathbb{R}$$ , zeige also:
$$\lim\limits_{x\to0} g(x) = g(0)= 0 $$
ich muss also den Grenzwert $$\lim\limits_{x\to0} g(x) $$ berechnen, das mch ich mit dem Folgenkriterium für Grenzwerte von Funktionen. Sei also a_n eine beliebige Folge in $$\mathbb{R} $$ mit $$\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0 $$.
Dann gilt: $$\lim\limits_{n\to\infty} g(a_n) = \lim\limits_{n\to\infty} ((a_n)*sin(1/a_n))/(a_n))$$ , mit den Grenzwertsätzen für Folgen:
$$\lim\limits_{n\to\infty} ((a_n)*sin(1/a_n))/(a_n))= \lim\limits_{n\to\infty} a_n \lim\limits_{n\to\infty} a_n* sin(1/a_n)$$ und da ersteres eine Nullfolge ist und weil sin(1/a_n) eine beschränkte Folge ist folgt 0*0= 0 für den Grenzwert.
Passt das soweit? und wenn nein, wie könnte ich zeigen, dass g in 0 stetig ist?
LG
