Probleme beim Integral von 1/(2x+5)

Question

Aufgabe: $$\int \frac 1{2x+5}\, \text dx $$

Problem/Ansatz:

Um das Integral zu berechnen habe ich zuerst \(\frac 12\) raus multipliziert, so dass ich im Integral dann \(\frac 12 \left(x+ \frac 52 \right)\) habe. Das \(\frac 12\) ziehe ich vor dem Integral und ich bekomme als Ergebnis \( \frac 12\left(\ln \left| x+ \frac 52 \right| \right)\) raus.

In den Lösungen wird mit Substitution gearbeitet: \(u=2x+5\) etc. mit der Lösung \(\frac 12 (\ln |2x+5|)\)

Meine Frage: Ist der Weg ohne Substitution falsch oder warum bekomme ich unterschiedliche Ergebnisse raus?

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Es gilt:

f(x) = 1/(ax+b)  → F(x) = ln|ax+b|* 1/a

Answer 1

Huhu,

Deine Lösung passt auch sauber. Erinnere Dich, dass Du beim Integrieren mit einer Konstante addierst. Es gibt also nicht eine, sondern beliebig viele Stammfunktionen. Wenn Du bei Dir mit 2 erweitert (im Logarithmus) und dann mittels der Logarithmengesetze vereinfachst, kommst Du auf die Musterlösung abzgl einer Konstanten. Willst Du es gerade mal versuchen, dass zu überführen um meine Worte zu beweisen? ;)

Grüße

Comments

Vielen Dank fuer die schnelle Antwort

Muesste dann so dann so aussehen:

(ln I 2 I + ln I x/2+5 I)/2 + C

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Im Logarithmus meinst du wohl 2x? Dann sieht es recht gut aus, allerdings muss es -ln(2) heißen. Immerhin war das ja gerade im Nenner: ln(a/b) = ln(a) - ln(b)

Answer 2

1/2·LN(|2·x + 5|)

= 1/2·LN(2·|x + 2.5|)

= 1/2·(LN(2) + LN(|x + 2.5|))

= 1/2·LN(2) + 1/2·LN(|x + 2.5|)

= C + 1/2·LN(|x + 2.5|)

Du siehst. wenn du zu deiner Lösung geschickt ein C addierst, kommst du auf die Musterlösung.

Answer 3

In diesem einfachen Fall hilft diese Überlegung weiter:

ln f(x) wird abgeleitet zu: 1/f(x) *f '(x)

Damit kommt man schnell auf die Lösung.