Gibt es einen Wert damit das LGS eine eindeutige Lösung besitzt?

Question

ich wollte fragen, ob meine Vermutung stimmt.

Meine Aufgabe lautet: Für welche φ∈ℝ besitzt das LGS

-1	2	-3	-4	1
0	-6	0	0	0
0	3	-3	3	-5
0	-4	3	-3	φ

(Letzte Spalte sind die "Ergebnisse" der Gleichungen)

- genau eine Lösung

- unendlich viele Lösungen

- keine Lösung

Durch Umstellen bin ich auf φ-5 gekommen und der Rest der Zeile wurde zu 0.

Nun das Problem...

Bei φ=5 gibt es unendlich viele Lösungen.

Bei φ=ℝ\{5} gibt es keine Lösungen.

Aber für welche(n) Wert(e) gibt es genau eine Lösung? Oder ist meine Vermutung richtig und es gibt keinen Wert für eine eindeutige Lösung?

Answer 1

Du hast dieses phi - 5 unten rechts?

Hast du die Matrix auf Dreiecksform gebracht?

Dann kannst du anhand der Diagonalen erkennen, wieviele Lösungen vorhanden sind.

Genau eine Lösung kann es geben, wenn in der richtigen Hauptdiagonalen keine Nullen stehen.

D.h., wenn du richtig gerechnet hast, stimmt deine Vermutung.

Comments

Ja ich habe phi-5 unten rechts, da ich die Matrix auf Dreiecksform gebracht habe, weil ich dies schon in Aufgabenteil a gemacht habe und ich nur die letzte Spalte nochmal durchrechnen musste.

Somit stand in der Hauptdiagonalen eine Null und das führt dazu, dass es keine eindeutige Lösung gibt richtig?

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Moment:

Hattest du zuerst zuunterst

0 0 0 5 phi

und dann noch weitergemacht?

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Von der ursprünglichen Matrix bin ich auf diese gekommen:

-1	2	-3	-4	1
0	-6	0	0	0
0	0	-3	3	-5
0	0	3	-3	phi

und hab dann die 4 Zeile + 3 Zeile gerechnet und bin auf:

-1	2	-3	-4	1
0	-6	0	0	0
0	0	-3	3	-5
0	0	0	0	phi-5

gekommen.

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Also für φ≠5 keine Lösung und für φ=5 unendlich viele.

Aber für welche(n) Wert(e) gibt es genau eine Lösung? Oder ist meine Vermutung richtig und es gibt keinen Wert für eine eindeutige Lösung?

Ja, ist richtig.

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Innerhalb von deinem Kommentar ist die Folgerung korrekt.

Der Rang der Koeffizientenmatrix wäre, wenn die Rechnung stimmt, 3. Weil da 4 Unbekannte vorhanden sind, kann das LGS nicht eindeutig lösbar sein.

Ist der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix 4, gibt es keine Lösung.

Ist der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix 3, gibt es unendlich viele Lösungen.

Genau so, wie du argumentiert hast.

Answer 2

Aloha :)

Deine Überlegungen zu keiner Lösung und zu unendlich vielen Lösungen sind korrekt.

Genau eine Lösung kann es nicht geben, weil die Determinante der Matrix (die ersten 4 Spalten) \(=0\) ist.