Für welche Werte von P hat dieses LGS eine eindeutige Lösung?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem mit einem Parameter \( p \in \mathbb{R} \) :
\( \begin{aligned} -x+4 y+2 z & =1 \\ x+4 y & =2 \\ p \cdot x+2 y+4 z & =4 \end{aligned} \)
Geben Sie an, für welche Werte von \( p \) dieses LGS eine eindeutige Lösung besitzt.
\( p \neq-3 / 2 \)
Ihre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert:
\( \frac{-3}{2} \)

Problem/Ansatz:

Ich hab zuerst die Regel von Sarrus angewendet und die ersten zwei Spalten noch dazu geschrieben, dann hab ich die Determinante ausgerechnet und kam am Ende auf -8+4-8p-8 und das umgestellt etc. ist dann -3/2=p also hätte ich als Lösung p=-3/2.

Nun wollte ich fragen ob das richtig gerechnet wurde oder ob ich irgendwo einen Fehler gemacht hab.

Answer 1

Aloha :)

Ein Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizienten-Matrix ungleich Null ist.$$0\ne\left|\begin{array}{rrr}-1 & 4 & 2\\1 & 4 & 0\\p & 2 & 4\end{array}\right|=2\cdot(2-4p)+4\cdot(-4-4)=4-8p-32=-8p-28$$$$\implies8p\ne-28\implies p\ne-\frac{28}{8}=-\frac72$$

Für alle \(p\ne-\frac72\) ist die Lösung eindeutig.