Abschluss einer Menge bestimmen

Question

Es sei \((V,||.||)\) ein normierter Raum. Betrachte für alle \(x\in V\) eine \(\varepsilon\)-Umgebung von \(x\), also \(U_{\varepsilon}(x)=\{y\in V:\ ||x-y||<\varepsilon\}\). Dann lautet der Abschluss dieser Menge: \(\overline{U_{\varepsilon}(x)}=\{y\in V:\ ||x-y||\leq \varepsilon\}\).

Problem: Ich kann nicht nachvollziehen, wie man darauf kommt. Zum Abschluss einer Menge, kenne ich folgende Definition:

Sei \((X,d)\) ein metrischer Raum und \(T\subseteq X\). Dann heißt die Menge

\(\overline{T}=\bigcap(\{A\subseteq X:\ A\supseteq T\text{  ist abgeschlossen}\})\) Abschluss von \(T\).

Nun habe ich erstmal die obige \(\varepsilon\)-Umgebung in diese Definition eingesetzt:

\(\overline{U_{\varepsilon}(x)}=\bigcap(\{A\subseteq V:\ A\supseteq U_{\varepsilon}(x)\text{  ist abgeschlossen}\})\).

Aber ab hier weiß ich nicht weiter, wie ich mit dieser Definition auf \(\overline{U_{\varepsilon}(x)}=\{y\in V:\ ||x-y||\leq \varepsilon\}\) kommen soll.

Answer 1

Die Definition heißt ja in Worten:

Der Abschluss von T ist der Durchschnitt aller T enthaltenden

abgeschlossenen Teilmengen von X.

Und jetzt kannst du ja die klassische Argumentation für Mengengleichheit

anwenden.

Zu  \(\overline{U_{\varepsilon}(x)}⊆\{y\in V:\ ||x-y||\leq \varepsilon\}\). wohl so:

Sei \(z \in \overline{U_{\varepsilon}(x)}\). Dann liegt nach Def. des Abschlusses

z im Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die U_ε(x) enthalten.

Jede abgeschlossene Menge, die U_ε(x) enthält, enthält neben den Elementen von

U_ε(x) [ Das sind ja die y, bei denen die Norm von x-y kleiner ε ist ]  , da es abgeschlossenen

Mengen sind, auch alle Elemente, bei denen die Norm gleich ε ist, wo also gilt ||x-y||=ε.

Somit gilt für  z auch    ||x-z||≤ε

und damit ist es in   \(\{y\in V:\ ||x-y||\leq \varepsilon\}\).

Umgekehrt musst du nur zeigen: Wenn du ein z hast, bei dem   ||x-z||>ε gilt, dann ist es

nicht in    \(\overline{U_{\varepsilon}(x)}\) ,  weil es eine abgeschlossene Teilmenge von V

gibt [ nämlich {y∈V | ||x-y||≤ε }  ], die z nicht enthält.