Kombinatorik Aufgabe Olympische Spiele

Question

hier ist eine Aufgabe aus der Kombinatorik, mit der ich überhaupt nichts anfangen kann. Geht das über Binomialkoeffizienten?

Aufgabe:

(b) Angenommen, bel den olympischen Spielen 2016 sammeln 61 Länder Medaillen. Darunter haben 36 Länder mindestens eine Goldmedaille, 44 Länder mindestens eine Silbermedaille, 49 Länder mindestens eine Bronzemedaille. Genau 16 Länder haben nur eine Medaillensorte, keines der 61 Länder hat keine Medaille. Wie viele Länder haben alle drei Sorten Medaillen?

Ich bin für jede Anregung dankbar.

Answer 1

Du musst nur herausfinden, wie viele Länder drei Sorten gewonnen haben.

Bei meiner Lösung habe ich die gleichen Bezeichnungen wie der Mathecoach gewählt.

Gesucht ist demnach g.

a+b+...+f+g=61         (X)

a+b+c=16 → d+e+f+g=45    (*)

Gold:              a+d+e+g=36

Beide subtrahieren: f-a=9 bzw. f=a+9

Mit Silber und Bronze erhältst du mit (*)

e=b+1

d=c-4

f=a+9    (siehe oben)

Die letzten drei Gleichungen addieren

d+e+f=a+b+c+6=16+6=22

(a+b+c)+(d+e+f)=16+22=38

Mit Gleichung (X) erhältst du g=23.

:-)

Answer 2

Meist kommst du hier mit einem Gleichungssystem recht weit.

H(nur Gold gewonnen) = a
H(nur Silber gewonnen) = b
H(nur Bronze gewonnen) = c

H(nur Gold und Silber gewonnen) = d
H(nur Gold und Bronze gewonnen) = e
H(nur Silber und Bronze gewonnen) = f

H(Gold, Silber und Bronze gewonnen) = g

Stelle das Gleichungssystem auf und ermittle den Wert für g.

Ich komme dabei auf g = 23

Comments

aber ich habe doch nur Angaben für mindestens gold etc. wie kriege ich daraus Angaben für nur gold und silber beispielsweise?

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Wenn ein Land mind. eine Goldmedaille hat dann hat sie entweder nur Gold, Gold und Silber, Gold und Bronze oder Gold, Silber und Bronze.

a + d + e + g = 36