Wahrscheinlichkeitsrechnung die Ananasdose Aufgabe

Question

Aufgabe:

Treffen sie die Annahme, dass die Abfüllmenge von Ananasdosen normalverteilt sei mit einem Erwartungswert von μ=495 g und einer Standardabweichung von 5g. Genau 17% der Dosen enthalten weniger als.. g?

Die Aufgabe übersteigt leider meine Fähigkeiten, ich kenne mich leider nicht so gut aus mit Wahrscheinlichkeitsrechnung, kann mir bitte jmdn weiterhelfen mit den Rechenweg ?

Answer 1

Aloha :)

Hier handelt es sich um eine Normalverteilung mit dem Erwartungswert $\mu=495\,\mathrm g$ und der Standardabweichung $\sigma=5\mathrm g$. Die Normalverteilung $P_{\mu;\sigma}(x)$ gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Wert der Zufallsvariablen kleiner oder gleich $x$ ist. Wir suchen also:$$P_{\mu;\sigma}(x)=0,17$$

Einige wenige Taschenrechner können die Normalverteilung für beliebige Erwartungswerte und Standardabweichungen berechnen. Die meisten können allerdings nur die sog. Standard-Normalverteilung $\Phi(z)$ berechnen. Ein solche hat den Erwartungswert $0$ und die Standardabweichung $1$. Das reicht in der Regel auch, weil man jede Normalverteilung auf eine Standard-Normalverteilung umrechnen kann, indem man den Erwartungswert $\mu$ subtrahiert und das Ergebnis bezüglich der Standardabweichung normiert:$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{x-495}{5}$$In Standard-Normalverteilung ausgedrückt, suchen wir also:$$\Phi\left(\frac{x-495}{5}\right)=0,17$$Mit dem Taschenrechner bestimmen wir die Umkehrfunktion:$$\Phi^{-1}(0,17)\approx-0,954165$$und können damit wie folgt rechnen:$$\left.\Phi\left(\frac{x-495}{5}\right)=0,17\quad\right|\quad\Phi^{-1}(\cdots)$$$$\left.\frac{x-495}{5}=\Phi^{-1}(0,17)\approx-0,954165\quad\right|\quad\cdot5$$$$\left.x-495\approx-5\cdot0,954165\quad\right|\quad+495$$$$\left.x\approx-5\cdot0,954165+495\quad\right|\quad\text{ausrechnen}$$$$x\approx490,229174$$

Comments

Danke dir vielmals für die tolle Erklärung, hat mir wirklich sehr geholfen

Answer 2

Φ((x - 495)/5) = 0.17 --> x = 490.2 g

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Können sie mir bitte den Rechenweg  genau erklären?

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Was verstehst du denn nicht. Obige Gleichung ist einfach nach x aufzulösen.

Φ((x - 495)/5) = 0.17
(x - 495)/5 = Φ^-1(0.17)
x - 495 = 5·Φ^-1(0.17)
x = 495 + 5·Φ^-1(0.17)

Ob du jetzt die Werte der Standardnormalverteilung mit dem TR berechnest oder in einer Wertetabelle nachschaust bleibt dir überlassen.