Bestimmen Sie für die Funktion f die rechte Intervallgrenze b so, dass die Fläche zwischen der x Achse und dem …

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für die Funktion f die rechte Intervallgrenze b so, dass die Fläche zwischen der x Achse und dem Graphen der Funktion den angegebenen Flächeninhalt hat.

f(x)=x^2+4x, I=[0,b], A=405

Problem/Ansatz:

Ich komme bei der Lösung der Aufgabe an einem bestimmten Punkt nicht mehr weiter. Kann sie mir jemand vorrechnen?

Answer 1

Hallo,

es gilt:$$\int_{0}^{b}x^2+4x \, dx=\left[\frac{x^3}{3}+2x^2\right]_0^b=\frac{1}{3}b^3+2b^2\overset{!}=405$$ Dies ist eine kubische Gleichung, die du algebraisch z. B. mit Hilfe von Cardano lösen kannst oder durch Einsatz eines Computeralgebrasystems. Ich erhalte \(b=9\). Sollte das eine Abitur-Aufgabe sein, so wird man vermutlich den Taschenrechner einsetzen müssen oder aber man rät. Für Gleichungen der Bauart \(x^3+px+q=0\) gäbe es aber eine schöne Substitution.

https://www.desmos.com/calculator/ngosbbilqj

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Da war ich also doch nicht ganz falsch unterwegs.

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... gerne, VG.

Answer 2

Aloha :)

$$405=A=\int\limits_0^b(x^2+4x)dx=\left[\frac{x^3}{3}+2x^2\right]_0^b=\frac{b^3}{3}+2b^2$$Diese Gleichung mit \(3\) multipliziert liefert:$$b^3+6b^2-1215=0$$Die ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung müssen Teiler von \(1215\) sein:$$1215=3^5\cdot5$$Wir finden, dass \(b=3^2=9\) eine Lösung ist.

Comments

Sehr schön, der Satz über die rationale Nullstelle kann natürlich die Kardinalität der Menge möglicher Nullstellen minimieren.

Allerdings müsste man schon mit \(\{1,3,5,9,15,27,45,81,135,243,405,1215\}\) etwas rumtesten, um auf das richtige Ergebnis zu kommen.

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Mit dem Rumtesten war gar nicht so fummelig. Die dritte Wurzel aus \(1215\) ist etwas größer als \(10\), denn \(10^3=1000\). Daher war \(b=9\) mein erster Versuch ;)

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Würde ich jetzt auch sagen :P Hört sich nach backwards engineering an :^)

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Als Physiker lernt man sehr schnell, in Größenordnungen zu denken. Das macht doch auch jeder normale Mensch. Oder hättest du ernsthaft mit \(b=1\) oder \(b=1215\) angefangen?