Limes strebt gegen e^(a+b) doch warum ist es so?

Question

Aufgabe:Warum gilt unten stehende Beziehung?  Nun vertraue ich Wolfram, doch warum ist es so?

Problem/Ansatz:

Die ursprüngliche Aufgabe lautete\( \lim\limits_{x\to\infty} \) \(\frac{(a+x)}{(b-x)} ^x\) diese habe ich umgeformt und Wolfram gibt auch die Antwort dazu.

Nun rechnet Wolfram mit Komplexen Zahlen, gibt dann aber ihren Anteil mit 0 an

\( \lim\limits_{x\to0} \) \(\frac{(ax+1)}{(bx-1)} ^{\frac{1}{x}} \)= \( e^{(a+b)} \) =

\( \lim\limits_{x\to0} \) \( \sqrt[x]{\frac{ax+1}{bx-1}} \)

Der Exponent soll für den gesamten Bruch gelten. Als Wurzel funktioniert es.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%5B%2F%2Fmath%3Ax%2F%2F%5D-%3E%5B%2F%2Fmath%3A0%2F%2F%5D+%5B%2F%2Fmath%3A%28%28%28a%29x%2B1%29%2F%28%28b%29x-1%29%29%5E%281%2Fx%29%2F%2F%5D

Doch wenn ich nicht a, sondern a+1 eingebe, geschieht folgendes.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%5B%2F%2Fmath%3Ax%2F%2F%5D-%3E%5B%2F%2Fmath%3A0%2F%2F%5D+%5B%2F%2Fmath%3A%28%28%28a%2B1%29x%2B1%29%2F%28%28b%29x-1%29%29%5E%281%2Fx%29%2F%2F%5D

Und wenn ich dann nicht b sonder b+1 eingebe, verweigert Wolfram die Arbeit.

Oh, jetzt geht es plötzlich

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%5B%2F%2Fmath%3Ax%2F%2F%5D-%3E%5B%2F%2Fmath%3A0%2F%2F%5D+%5B%2F%2Fmath%3A%28%28%28a%2B1%29x%2B1%29%2F%28%28b%2B1%29x-1%29%29%5E%281%2Fx%29%2F%2F%5D

Comments

Hallo,

für hinreichend kleine x wird der Bruch negativ. Wie will man dann die x-te Wurzel berechnen?

Gruß

---

Ja, das ist eine gute Frage, doch Wolfram gibt da ja etwas an. Was ist da denn falsch?

Ich hatte gedacht , dass ich den Grenzwert richtig übersetzt hätte. Nun geht es also um die Potenz,

Vielen Dank, für deine Kritik.

---

Auch der Taschenrechner bestärkt mich

((1+1.000.000.000)/(4-1.000.000.000))^1.000.000.000 - e^5=-0,000006365

((2+1.000.000.000)/(3-1.000.000.000))^1.000.000.000 - e^5=-0,000006365

((3+1.000.000.000)/(2-1.000.000.000))^1.000.000.000 - e^5=-0,000006365

Egal ob 1|4 ; 2|3 oder 3|2

Erster Summand im Zähler plus Minuend im Nenner ergibt immer den Exponenten zur Basis e diese Potenz entspricht dann immer dem Grenzwert bis auf die Rechenungenauigkeit.

---

Du kannst (a+x)/(b-x)

= (a/x+1)/(b/x-1)

schreiben.

Nimmt man davon die xte Potent, dann konvergiert der Zähler gegen e^a.

[(a/x+1)/(b/x-1)]^x

Betrachtet man nur den Nenner, dann kannst du wie Wolfram tricksen:

1/(b/x-1)]^x=1/(1-b/x)^x *1/(-1)^x

Der erste Faktor strebt jetzt klassisch gegen e^b, der zweite ist aber nur im komplexen definiert und konvergiert nicht. 1/(-1)^x liegt immer auf dem komplexen Einheitskreis. Daher das komische Ergebnis von Wolfram. Aber im reellen konvergiert hier gar nix.

---

Vielen Dank, doch wenn ich für a und b reelle Zahlen, besser gesagt natürliche Zahlen einsetzen, gibt Wolfram auch immer natürliche Exponenten ( die Summe der beiden Zahlen)an.

---

Hallo,

versuchs doch mal mit einem ungeraden x bzw. 1/x

Gruß

---

Danke für deine Geduld und deine Anregung.

Meine Frage bezog  sich auf eine Frage, bei der ich etwas verunsichert war, dort habe ich die Antwort wie ich hoffe soweit verändert, dass es jetzt wohl auch eurer Prüfung standhält

https://www.mathelounge.de/754109/berechne-folgenden-grenzwert