Aufgabe:
Gegen welchen Wert strebt die Funktion wenn sich der x-Wert beliebig dicht der −2 nähert?
\( f(x)=\frac{x^{2}-3 x-10}{x+2} \)
Was heißt "nähert"? Also -1,999..... ?
Aloha :)
Finde 2 Zahlen, deren Produkt \((-10)\) und deren Summe \((-3)\) ist. Das sind \((-5)\) und \(2\). Damit kannst du den Zähler faktorisieren:$$f(x)=\frac{x^2-3x-10}{x+2}=\frac{(x-5)(x+2)}{x+2}=x-5\quad\text{für}\quad x\ne-2$$Für alle Punkte \(x\ne-2\) kann man die Funktion also durch \((x-5)\) ersetzen. Speziell an der Stelle \(x=-2\) ergäbe sich daher:$$\lim\limits_{x\to-2}f(x)=\lim\limits_{x\to-2}(x-5)=-7$$
~plot~ (x^2-3x-10)/(x+2) ; {-2|-7} ; [[-5|6|-10|1]] ~plot~
Danke dir.
Also vereinfachen wir so, das wir nicht durch -2 teilen (weil -2+2=0), um dann in X -2 einzusetzen, um den Wert zu bekommen?
Ja genau. Da der Zähler und der Nenner beide an der Stelle \(x=-2\) zu null werden, kann man die Funktion an der Stelle \(x=-2\) stetig ergänzen. Das heißt, bei \(x=-2\) springt die Funktion nicht, sondern hat dort eine Lücke, die man durch setzen genau eines Punktes beheben kann. Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert für \(x\to-2\) sind gleich.
Hier hilft Polynomdivision.
--> x-5
x=-2 → -2-5=-7
:-)
PS
(x^2-3x-10):(x+2)=x-5
(x^2+2x)
---------------
-5x-10
---------
0
`
Wie kommst du da drauf? Ich bekomme bei der
Polynomdivision $$x^{2}-2x+1-\frac{12}{x+2}$$ raus.
Ich habe meine Antwort ergänzt.
Danke. Hatte die Polynomdivision falsch -.-
Hallo martin,sich x = -2 nähertWird manchmal so ausgedrückt.
Richtiger : 2 Fällelim x -> -2 ( - ) von links -2.000...1undlim x -> -2 ( + ) von rechts -1.999...
-2.000...1 -2 -1.999... <-------------|---------|----------|-------->
Habt Ihr schon l´Hospital gehabt ?
ich habe mir gerade mal den l´Hospital angeschaut.
Also die Ableitungen bilden und den Grenzwert einsetzen. Hier hast du dann -2 für das X eingesetzt.
Danke dir!
Gern geschehen.
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