Nimmt eine konvergente unendlich Reihe den Wert tatsächlich an oder nähert man sich dem Wert nur beliebig nahe?

Question

Beispiel: $$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac { 1}{ 6^n }=\frac { 1 }{ 1-1/6 }=6/5 $$ Ist der Wert nun tatsächich 6/5 also könnte ich 6/5 mit der Folge der Partialsummen tatsächlich erreichen oder nähere ich mich nur beliebig nahe dem Wert an. Dann wäre 6/5 ja sozusagen minimal größer als die Reihe. Ach, und könnte ich 6/5 auch wieder in die Partialsummen zerlegen und mit welchem Gesetz wäre es zu rechtfertigen?

Bei Grenzwerten von Folgen erreicht man den Wert ja auch nicht immer, aber nähert sich ihm beliebig nahe, es ist bspw. kein Folgenglied von a_n=1/n gleich 0 und eine unendliche Reihe ist ja auch nur eine Sonderform einer Folge...

Kann ich im Allgemeinen jede Zahl durch eine Reihe ersetzten und z.B. die reellen Zahlen nur mit unendlichen Reihen darstellen und die erhaltene Menge wäre äquivalent zur üblichen Darstellung der Menge der reellen Zahlen? Würden dann für diese Reihen auch die gleichen Gesetzte gelten, wie für die reellen Zahlen, also könnte ich bspw. das Arch.Axiom verwenden und es würde dann für alle Reihen gelten die eine positive reelle Zahl darstellen?

Danke, für das Lesen und die Gedanken :)

Answer 1

Ist der Wert nun tatsächich 6/5 also könnte ich 6/5 mit der Folge der Partialsummen tatsächlich erreichen oder nähere ich mich nur beliebig nahe dem Wert an.

Das liegt dem Grenzwertbegriff aj sozusagen im Blut, dass der Wert selbst nicht unbedingt in der

Folge der Partialsummen vorkommen muss.

Klassisch ist ja die Frage, on  0 , Periode 3 das gleiche ist wie  1/3 .

Dem ist so, weil halt jede reelle Zahl als der Grenzwert einer unendlichen Reihe gedacht werden kann.

Du bringst es auf den Punkt:

Bei Grenzwerten von Folgen erreicht man den Wert ja auch nicht immer, aber nähert sich ihm beliebig nahe, es ist bspw. kein Folgenglied von a_n=1/n gleich 0 und eine unendliche Reihe ist ja auch nur eine Sonderform einer Folge... 

Kann ich im Allgemeinen jede Zahl durch eine Reihe ersetzten und z.B. die reellen Zahlen nur mit unendlichen Reihen darstellen und die erhaltene Menge wäre äquivalent zur üblichen Darstellung der Menge der reellen Zahlen?

Ja, du kannst die abbrechenden Dezimalbrüche durch Nullen unendlich verlängern.

Würden dann für diese Reihen auch die gleichen Gesetzte gelten, wie für die reellen Zahlen, also könnte ich bspw. das Arch.Axiom verwenden und es würde dann für alle Reihen gelten die eine positive reelle Zahl darstellen?     

Genau deswegen macht man wohl eine axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen. Und kann dann verschiedenen Modelle (  Intervallschachtelungen, Dedekindsche Schnitte etc )

zu ihrer Konstruktion verwenden.

Answer 2

"Dann wäre 6/5 ja sozusagen minimal größer als die Reihe" sollte besser heißen: " Dann ist 6/5 ja sozusagen minimal größer als jedes  Glied der Folge der Partialsummen". So stimmt es nämlich.