Gegen welchen Wert strebt die Funktion wenn sich der x-Wert beliebig dicht der −2 nähert?

Question

Aufgabe:

Gegen welchen Wert strebt die Funktion wenn sich der x-Wert beliebig dicht der −2 nähert?

\( f(x)=\frac{x^{2}-3 x-10}{x+2} \)

Was heißt "nähert"? Also -1,999..... ?

Answer 1

Aloha :)

Finde 2 Zahlen, deren Produkt \((-10)\) und deren Summe \((-3)\) ist. Das sind \((-5)\) und \(2\). Damit kannst du den Zähler faktorisieren:$$f(x)=\frac{x^2-3x-10}{x+2}=\frac{(x-5)(x+2)}{x+2}=x-5\quad\text{für}\quad x\ne-2$$Für alle Punkte \(x\ne-2\) kann man die Funktion also durch \((x-5)\) ersetzen. Speziell an der Stelle \(x=-2\) ergäbe sich daher:$$\lim\limits_{x\to-2}f(x)=\lim\limits_{x\to-2}(x-5)=-7$$

~plot~ (x^2-3x-10)/(x+2) ; {-2|-7} ; [[-5|6|-10|1]] ~plot~

Comments

Danke dir.

Also vereinfachen wir so, das wir nicht durch -2 teilen (weil -2+2=0), um dann in X -2 einzusetzen, um den Wert zu bekommen?

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Ja genau. Da der Zähler und der Nenner beide an der Stelle \(x=-2\) zu null werden, kann man die Funktion an der Stelle \(x=-2\) stetig ergänzen. Das heißt, bei \(x=-2\) springt die Funktion nicht, sondern hat dort eine Lücke, die man durch setzen genau eines Punktes beheben kann. Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert für \(x\to-2\) sind gleich.

Answer 2

Hier hilft Polynomdivision.

--> x-5

x=-2 → -2-5=-7

:-)

PS

(x^2-3x-10):(x+2)=x-5

(x^2+2x)

---------------

       -5x-10

        -5x-10

        ---------

                0

`

Comments

Wie kommst du da drauf? Ich bekomme bei der

Polynomdivision $$x^{2}-2x+1-\frac{12}{x+2}$$ raus.

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Ich habe meine Antwort ergänzt.

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Danke. Hatte die Polynomdivision falsch -.-

Answer 3

Hallo martin,
sich x = -2 nähert
Wird manchmal so ausgedrückt.

Richtiger : 2 Fälle
lim x -> -2 ( - )  von links -2.000...1
und
lim x -> -2 ( + )  von rechts -1.999...

              -2.000...1    -2     -1.999...
      <-------------|---------|----------|-------->

Habt Ihr schon l´Hospital gehabt ?

Comments

ich habe mir gerade mal den l´Hospital angeschaut.

Also die Ableitungen bilden und den Grenzwert einsetzen. Hier hast du dann -2 für das X eingesetzt.

Danke dir!

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Gern geschehen.