Gegen welchen Wert strebt die nachgefragte Menge x , wenn der Preis p über alle Grenzen hinaus wächst?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei für \( x>0 \) die Preis-Absatz-Funktion
\( p(x)=5 \ln \left(\frac{x^{2}+16 x+64}{x^{2}+8 x}\right) \)
1) Gegen welchen Wert strebt die nachgefragte Menge \( x \), wenn der Preis \( p \) über alle Grenzen hinaus wächst?
2) Der Luxusgüterkonsum \( C \) (in GE/Jahr) eines Haushalts sei in Abhängigkeit vom Haushaltseinkommen \( Y \) (in GE/Jahr) gegeben
durch die Konsumfunktion
\( C(Y)=\frac{5 Y^{2}-7}{3 Y+17} \)
Ermitteln Sie den Sättigungswert des Konsums.
3) Gegen welchen Wert strebt die durchschnittliche Konsumquote für Luxusgüter \( \frac{C(Y)}{Y}, \) wenn das Einkommen über alle Grenzen steigt.

Answer 1

1)

p = 5·LN((x^2 + 16·x + 64)/(x^2 + 8·x))
p = 5·LN((x + 8)^2/((x + 8)·x))
p = 5·LN((x + 8)/x)
p = 5·LN(1 + 8/x)
5·LN(1 + 8/x) = p
LN(1 + 8/x) = 0.2·p
1 + 8/x = EXP(0.2·p)
8/x = EXP(0.2·p) - 1
x = 8/(EXP(0.2·p) - 1)

Das strebt gegen 0 für p gegen unendlich.

2)

Grenzwert C(Y) für Y gegen unendlich ist unendlich. Damit gibt es keinen Sättigungswert

3)

Grenzwert von C(Y)/Y für Y gegen unendlich ist 5/3.