Hallo,
Willkommen in der Mathelounge.
Diese 'Köpfe-und-Beine'-Aufgaben kann man sehr leicht lösen, wenn man bei den Vier-Beinern die Hinter- und Vorderbeine unterscheidet. Ein Kaninchen hat genauso viel Hinterbeiden wie eine Taube Beine. Bei 25 Köpfen sind das 50 Tauben- und Kaninchenhinterbeine. Bleiben noch 70-50=20 Vorderbeinde für 20/2=10 Kaninchen übrig. Nebst 25-10=15 Tauben.
Mit den Hühnern und Kaninchen genauso: 120-2*45 = 30 Vorderbeine von 30/2=15 Kaninchen, neben 45-15=30 Hühnern.
Bei den Aufgaben mit Alter hilft die Tatsache, dass die Differenzen von Alter über die Zeit gleich bleibt. Ist ein Vater 46 und ein Sohn 14, so ist der Vater immer(!) 46-12=32 Jahre älter als sein Sohn. Ist der Vater dreimal so alt, so müssen diese 32 Jahre 2/3 seines Alters umfassen. Also ist 1/3 des Alters des Vaters, die Hälfte, also 32/2=16. Da der Sohn heute 14 ist, ist es in 2 Jahren so weit.
Die Nr. 4 ist etwas schwieriger. Die Altersdifferenz ist heute 2-mal das Alter der Tochter. 12 Jahre später ist die Differenz genauso groß, und das Alter der Tochter ist jetzt genauso groß wie diese Differenz, weil die Mutter jetzt doppelt so alt sein soll. D.h. die Tochter war vorher 12 Jahre alt und die Mutter also 36.
Wenn Du keine Phantasie hast, kannst Du alle Aufgaben auch mit \(x\) und \(y\) lösen.
1.) \(x\) sei die Anzahl der Tauben und \(y\) die Anzahl der Kaninchen$$\begin{aligned} x + y &= 25 \\ 2x + 4y &= 70 \end{aligned}$$Multipliziere die erste Gleichung mit \(2\) und ziehe sie von der zweiten ab:$$4y - 2y = 70 - 50 = 20 \implies y = 10$$usw.
2.) \(x\) sei die Anzahl der Hühner und \(y\) wieder die der Kaninchen$$\begin{aligned} x +y &= 45 \\ 2x + 4y &= 120 \end{aligned}$$(wie oben)
3.) \(x\) sei die Anzahl der Jahre, nach denen der Vater dreimal so alt wie der Sohn ist$$\begin{aligned} 46 + x &= 3(14 + x) \\ 46 + x &= 42 + 3x \\ 46 - 42 &= 3x - x \\ 4 &= 2x \\ \implies x& = 2 \end{aligned}$$
4.) Die Mutter sei \(x\) und die Tochter \(y\) alt $$\begin{aligned} x &= 3y \\ x + 12 &= 2(y+ 12) \end{aligned}$$Setze das \(x\) aus der ersten Gleichung in die zweite ein:$$\begin{aligned} \underbrace{3y}_{=x} + 12 &= 2(y+12) \\ 3y +12 &= 2y + 24 \\ 3y-2y &= 24 - 12\\ y &= 12 \end{aligned}$$Gruß Werner
