Aloha :)
$$\left.\mathbf A\cdot\mathbf X+\mathbf B=\mathbf X+\mathbf C\quad\right|\quad-\mathbf X$$$$\left.\mathbf A\cdot \mathbf X-\mathbf X+\mathbf B=\mathbf C\quad\right|\quad-\mathbf B$$$$\left.\mathbf A\cdot \mathbf X-\mathbf X=\mathbf C-\mathbf B\quad\right|\quad\text{Distributivgesetz links}$$$$\left.(\mathbf A-\mathbf 1)\cdot \mathbf X=\mathbf C-\mathbf B\quad\right|\quad\text{Matrizen einseten}$$$$\left(\begin{pmatrix}9 & -5\\-1 & -9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}x_{11} & x_{12}\\x_{21} & x_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-81 & 19\\-2 & -53\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & -1\\9 & -8\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}8 & -5\\-1 & -10\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_{11} & x_{12}\\x_{21} & x_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-82 & 20\\-11 & -45\end{pmatrix}$$
Jetzt kannst du z.B. die Inverse der ersten Matrix bestimmen und diese von links an die beide Seiten der Gleichung multiplizieren, um die gesamte Matrix \(\mathbf X\) zu erhalten. Da aber nur nach \(x_{22}\) gefragt ist, können wir uns die Invertierung sparen und nur die Teilgleichungen betrachten, die \(x_{22}\) enthalten:$$\begin{pmatrix}8 & -5\\-1 & -10\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_{12}\\x_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}20\\-45\end{pmatrix}$$Das ist ein recht einfaches Gleichungssystem:$$\begin{array}{r}x_{12} & x_{22} & =&&\text{Operation}\\\hline8 & -5 & 20 &&+8\cdot\text{Zeile 2}\\-1 & -10 & -45\\\hline0 & -85 & -340 && :(-85)\\-1 & -10 & -45\\\hline 0 & 1 & 4\\-1 & -10 & -45\\\hline\end{array}$$Die zweite Gleichung brauchen wir nicht mehr auszurechnen, weil wir das Ergebnis bereits ablesen können:$$x_{22}=4$$
