Boolesche Algebra Ausmultiplizieren mit Distributivsgesetz

Question

Aufgabe:

(¬A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B)

¬ bedeutet, das es sich um eine Negation handelt.

Problem/Ansatz:

Ich habe es versucht zu lösen, aber die Negationen stören mich. Ich weiss nicht, was ich tun soll, wenn ich das ausmultiplizieren will.

Ich probiere es mal so aus, in der Hoffnung, dass irgendwie irgendetwas stimmt.

(A + A'B + BA + B'B) * (A + B')

Answer 1

Aloha :)

Ich verwende gerne \(\cdot\) für \(\land\) und \(+\) für \(\lor\), weil man dann mit Punkt-vor-Strich viele Klammern sparen kann:

$$\phantom{=}(¬A ∨ ¬B) ∧ (¬A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B)$$$$=(\overline A+\overline B)\cdot(\overline A+B)\cdot(A+\overline B)$$$$=(\underbrace{\overline A\cdot\overline A}_{=\overline A}+\overline B\cdot\overline A+\overline A\cdot B+\underbrace{\overline B\cdot B}_{=0})\cdot(A+\overline B)$$$$=\underbrace{\overline A\cdot A}_{=0}+\underbrace{\overline B\cdot\overline A\cdot A}_{=0}+\underbrace{\overline A\cdot B\cdot A}_{=0}+\overline A\cdot\overline B+\underbrace{\overline B\cdot\overline A\cdot\overline B}_{=\overline A\cdot\overline B}+\underbrace{\overline A\cdot B\cdot\overline B}_{=0}$$$$=\overline A\cdot\overline B=\overline{A+B}=\lnot(A\lor B)$$

Comments

Hallo lieber Tschakabumba

Ich danke dir sehr für das Aufzeigen des Rechenweges. Ich habe endlich verstanden, wie man die Sachen zusammen multipliziert und wie das mit den Regeln zusammenhängt. Endlich komme ich weiter.

<3

Gruss Atorian

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Kurze Frage noch. Mein Professor hat als Lösung das hier bei seiner Klasse gesagt gehabt: ¬A∧¬B)

Deine Lösung ist ins Plus gegangen, aber so wie es aussieht ist das nicht nötig oder? Was denkst du? Ich muss in diesen Multiple Choice Antworten die richtige suchen und beide sind drinnen, deine und seine. Was wäre jetzt die richtige?

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Die Lösungen sind identisch. Das folgt aus den Regeln von de Morgan:$$\overline A\cdot \overline B=\overline{A+B}\quad\text{bzw.}\quad\lnot A\land\lnot B=\lnot(A\lor B)$$Ich habe damals gelernt, man soll ein Ergebnis mit so wenigen Zeichen wie möglich angeben, wobei Klammern nicht als Zeichen zählen. Daher habe ich die letzte Umformung noch gemacht. Die ist aber nicht zwingend nötig.

Vermutlich sollst du beide ankreuzen, um zu zeigen, dass du die de-Morgan-Regeln verstanden hast.

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Man kann nur 1 ankreuzen und de-Morgan-Regel war nicht mal in unserem Skript. Das habe ich jetzt neu gelernt.

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Dann nimm sicherheitshalber das Format, das der Professor als richtig angegeben hat.

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In Ordnung. Ich danke dir.