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Korrelationskoeffizient für nichtlineare Funktion
Aufgabe
Wir müssen bestimmen, welche der beiden Funktionstypen (lineare Funktion \( y = ax + b \) oder kubische Funktion \( y = Ax^3 + B \)) eine kleinere Summe der quadratischen Abweichungen liefert, basierend auf den gegebenen Punkten \( (0, 4+h) \), \( (2, 19+h) \), \( (3, 12+h) \), \( (6, 15+h) \), wobei \( h \) eine Konstante ist.
Gegebene Informationen
1. Lineare Funktion: \( f(x) = 1{,}78x + 5{,}37 \) mit \( r = 0{,}91 \)
2. Näherungsweise kubische Funktion: \( f(x) = 0{,}035x^3 + 6{,}14 \)
Berechnung der Summe der quadratischen Abweichungen
Schritte zur Berechnung:
1.
Lineare Funktion: \( f(x) = 1{,}78x + 5{,}37 \)
Die gegebenen Punkte sind \( (x_1, y_1) = (0, 4+h) \), \( (x_2, y_2) = (2, 19+h) \), \( (x_3, y_3) = (3, 12+h) \), \( (x_4, y_4) = (6, 15+h) \).
Berechnung der Funktionswerte:
\(
\begin{aligned}
f(0) &= 1{,}78 \cdot 0 + 5{,}37 = 5{,}37, \\
f(2) &= 1{,}78 \cdot 2 + 5{,}37 = 8{,}93, \\
f(3) &= 1{,}78 \cdot 3 + 5{,}37 = 11{,}71, \\
f(6) &= 1{,}78 \cdot 6 + 5{,}37 = 15{,}05.
\end{aligned}
\)
Berechnung der quadratischen Abweichungen:
\(
\begin{aligned}
(y_1 - f(0))^2 &= (4+h - 5{,}37)^2, & &= (4 + h - 5{,}37)^2, \\
(y_2 - f(2))^2 &= (19+h - 8{,}93)^2, & &= (19 + h - 8{,}93)^2, \\
(y_3 - f(3))^2 &= (12+h - 11{,}71)^2, & &= (12 + h - 11{,}71)^2, \\
(y_4 - f(6))^2 &= (15+h - 15{,}05)^2. & &= (15 + h - 15{,}05)^2.
\end{aligned}
\)
Summe der quadratischen Abweichungen für die lineare Funktion:
\(
\begin{aligned}
S_{\text{linear}} &= (4 + h - 5{,}37)^2 + (19 + h - 8{,}93)^2 + (12 + h - 11{,}71)^2 + (15 + h - 15{,}05)^2.
\end{aligned}
\)
2.
Kubische Funktion: \( f(x) = 0{,}035x^3 + 6{,}14 \)
Berechnung der Funktionswerte:
\(
\begin{aligned}
f(0) &= 0{,}035 \cdot 0^3 + 6{,}14 = 6{,}14, \\
f(2) &= 0{,}035 \cdot 2^3 + 6{,}14 = 0{,}28 + 6{,}14 = 6{,}42, \\
f(3) &= 0{,}035 \cdot 3^3 + 6{,}14 = 0{,}945 + 6{,}14 = 7{,}085, \\
f(6) &= 0{,}035 \cdot 6^3 + 6{,}14 = 7{,}56 + 6{,}14 = 13{,}7.
\end{aligned}
\)
Berechnung der quadratischen Abweichungen:
\(
\begin{aligned}
(y_1 - f(0))^2 &= (4+h - 6{,}14)^2, & &= (4 + h - 6{,}14)^2, \\
(y_2 - f(2))^2 &= (19+h - 6{,}42)^2, & &= (19 + h - 6{,}42)^2, \\
(y_3 - f(3))^2 &= (12+h - 7{,}085)^2, & &= (12 + h - 7{,}085)^2, \\
(y_4 - f(6))^2 &= (15+h - 13{,}7)^2. & &= (15 + h - 13{,}7)^2.
\end{aligned}
\)
Summe der quadratischen Abweichungen für die kubische Funktion:
\(
\begin{aligned}
S_{\text{kubisch}} &= (4 + h - 6{,}14)^2 + (19 + h - 6{,}42)^2 + (12 + h - 7{,}085)^2 + (15 + h - 13{,}7)^2.
\end{aligned}
\)
Vergleich der Ergebnisse
Um zu bestimmen, welche Funktion eine bessere Annäherung liefert, vergleichen wir die beiden Summen der quadratischen Abweichungen, \( S_{\text{linear}} \) und \( S_{\text{kubisch}} \).
Falls die Summe der quadratischen Abweichungen für die lineare Funktion kleiner ist als die der kubischen Funktion \( (S_{\text{linear}} < S_{\text{kubisch}}) \), dann ist die lineare Funktion eine bessere Annäherung und umgekehrt.
Hinweis: Da \( h \) eine unbekannte Konstante ist, bleibt die Berechnung der Abweichungen in allgemeiner Form. Die tatsächliche Abweichung könnte durch Einsetzen eines spezifischen Wertes für \( h \) ermittelt werden. Wir können jedoch ohne \( h \) auch die Struktur beider Funktionen vergleichen.
