Finden Sie alle ganzzahlige Lösungen von Fnx + Fn−1y = 1.

Question

Aufgabe:

Sei Fn die n-te Fibonacci Zahl (zur Erinnerung F0 = 0, F1 = 1 und Fn = Fn−1 + Fn−2 für n ≥ 2). Finden Sie alle ganzzahlige Lösungen von Fnx + Fn−1y = 1.

Problem/Ansatz:

Also das hier ist mir klar: Sei also F₀ =0 und F₁=1. Wir wissen dann, dass: ggT(F_n ,F_n-1) = 1 für alle n aus den natürlichen Zahlen.Damit ex. x und y aus Z mit F_nx + F_n-1y = 1.

Wie gehe ich jetzt weiter vor? Meine Idee war vielleicht mit Induktion ? :) Für eine Antowrt wäre ich sehr dankbar! :)

Comments

Vorschlag: \(x=k\cdot F_{n-1}-(-1)^n\cdot F_{n-2}\)  und \(-y=k\cdot F_n-(-1)^n\cdot F_{n-1}\) für  \(k\in\mathbb Z\).