Lösen der parabel aufgabe

Question

Aufgabe:

gleichungungen aufstellen

Eine zur y-Achse symmetrische Parabel 4. Ordnung hat in P (2|0) eine Wendetangente mit der Steigung \(- \frac{4}{3} \)

Problem/Ansatz:

bekomme es nicht hin

$$f(x)=ax^4+bx^2+c\\ f(2)=0\\ f'(2)=-\frac{4}{3}$$

Answer 1

f(2)=0 ergibt         0=16a+4b+c

f '(2)=-4/3 ergibt -4/3=32a+4b

f ''(2)=0 ergibt        0=192a+2b

Answer 2

19)

Parabel 4.Ordnung mit Achsensymmetrie hat die Form

f(x)=a*x^4+b*x^2+c

Wendepunkt P(2|0) liegt auf Parabel:

f(2)=a*2^4+b*2^2+c

1.)a*2^4+b*2^2+c=0

In dem Punkt liegt die Wendetangente mit m=-4/3

f´(x)=4 *a*x^3+2*b*x

f´(2)=4 *a*2^3+2*b*2

2.) 4 *a*2^3+2*b*2=-4/3

f´´(x) =12*a*x^2+2b

f´´(2) =12*a*2^2+2b

3.)12*a*2^2+2b=0

Nun kannst du die Parabel bestimmen.

mfG

Moliets

Answer 3

Benutze zur Selbstkontrolle auch

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

f'(0)=0
f'''(0)=0

f(2)=0
f'(2)=-4/3
f''(2)=0

Die ersten beiden sind nur für die Achsensymmetrie beim Rechner nötig. Man erhält dann das Gleichungssystem

d = 0
6·b = 0

16·a + 8·b + 4·c + 2·d + e = 0
32·a + 12·b + 4·c + d = -4/3
48·a + 12·b + 2·c = 0

Und letztendlich die Funktion

f(x) = 1/48·x^4 - 1/2·x^2 + 5/3

Answer 4

Bedingung Achssymmetrie f(x)=f(-x)  mit den Exponenten n=gerade (symmetrisch zur y-Achse)

ergibt y=f(x)=a4*x^4+a2*x²+ao   hier n=4=gerade und n=2=gerade ao verschiebt nur nach oben oder unten

f´(x)=4*a4*x³+2*a2*x

f´´(x)=12*x²+2*a2

P(2/0)  Nullstelle und Wendepunkt und Steigung f´(2)=m=-4/3

1) f(2)=0=a4*2^4+a2*2²+ao aus P(2/0) Nullstelle

2) f´(2)=-4/3=4*a4*2³+2*a2*2  aus Steigung f´(2)=m=-4/3

3) f´´(2)=12*a4*2²+2*a2  aus Wendepunkt f´´(2)=0

Wir haben hier ein lineares Gleichungssystem (LGS),mit 3 Unbekannte,a4,a2 und ao und 3 Gleichungen,also lösbar.

Das LGS schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht,wegen der Übersichtlichkeit

1) 16*a4+4*a2+1*ao=0

2) 32*a4+4*a2+0*ao=-4/3

3) 48*a4+2*a2+0*ao=0

Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) a4=1/48 und a2=-1/2 und ao=1 2/3

gesuchte Funktion y=f(x)=1/48*x^4-1/2*x²+1 2/3

~plot~1/48*x^4-0,5*x^2+1,666;[[-10|10|-10|10]];x=2~plot~