Bestimmen Sie den Kern und dessen Dimension

Question

Aufgabe:

B = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & -2 & 3 \\ -2 & -2 & -2 & 2  \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe leider nicht, wie ich den Kern bei einer 3x4 Matrix bestimmen soll. Hinzukommend habe ich nun zwei Lösungen, die aber nicht übereinstimmen, bzw. ich weiß bei beiden nicht wirklich wie sie zustanden kommen.

1. Lösung: Ker(B) = Span (\( \begin{pmatrix} -2\\1\\1\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 3\\-2\\0\\1 \end{pmatrix} \)) Mit der Dimension 2

 2. Lösung: Ker(B) = (\( \begin{pmatrix} 0\\0\\t\\(2/3)t \end{pmatrix} \) Ι t ∈ℝ Mit der Dimension 1

Mein Vorgehen wäre nun, dass ich die erweiterte Zeilenstufenform berechne, danach weiß ich allerdings nicht weiter.

B = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & -2 & 3 \\ -2 & -2 & -2 & 2  \end{pmatrix} \)

-> \( \begin{pmatrix} -1 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0  \end{pmatrix} \)

Answer 1

Nun, den Kern kann man prüfen

A Kern = 0

das trifft für 1. zu aber nicht für 2.

Aus Deiner ZSFx=0 folgt x3, x4 freie Variablen - also Dim Kern = 2 und

\(\small Kern(B), :=  \, \left\{  \left\{ x_1 = -2 \; x_3 + 3 \; x_4, x_2 = x_3 - 2 \; x_4 \right\}  \right\} \)

Basisvektoren

x3=1, x4=0 ===> (-2,1,1,0)

x3=0, x4=1 ===> (3,-2,0,1)

Comments

Ok, vielen Dank!

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Gibt es bei der Angabe der Basisvektoren des Kerns eine Begründung, warum

x3=1, x4=0 ===> (-2,1,1,0)

x3=0, x4=1 ===> (3,-2,0,1)

sein müssen, oder können diese beliebig gewählt werden?

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Wie gesagt freie Variablen und 0,1 sind die Werte, die überschaubare Ergebnisse darstellen...

Du kannst ja mal verschiedene Werte auswählen und prüfen, ob die entstehenden Vektoren v_x3,x4 in den Kern fallen: A v_x3,x4 =0

Z.B:

\(\small Kern(B) \, :=  \, \left\{ \left(\begin{array}{r}5\\-4\\2\\3\\\end{array}\right), \left(\begin{array}{r}5\\-3\\-1\\1\\\end{array}\right) \right\} \)