Bestimmen Sie den Kern und dessen Dimension.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Kern und dessen Dimension. 

A = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \) ∈ ℤ3
...

A = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich würde die Matrix in ZSF bringen und dann versuchen, den Kern abzulesen, allerdings ist mir das weitere Vorgehen bei einer 3 x 4 Matrix nicht ganz klar.

Answer 1

Die strenge Zeilenstufenform (SZSF) hast du richtig bestimmt.

Dann ist eine Möglichkeit der sogenannte "-1 Trick":

Man füllt die Matrix mit Nullzeilen auf, oder streicht Nullzeilen weg bis eine quadratische Matrix entsteht. Bei dir muss also eine hinzugefügt werden.

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\\0&0&0&0\end{pmatrix} $$ Anschließend tauscht man die Zeilen so, dass die "Pivot-Einser" auf der Diagonalen liegen:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\0&0&0&0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} $$ Jetzt gehst du die Diagonale ab. Überall wo eine 0 steht kommt ein -1 hin. In Z/3Z gilt -1=2

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\0&0&-1&0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\0&0&2&0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} $$ Die Spalten mit der -1 sind die Basisvektoren des Kerns.

Hier ist die Basis also \(((1,2,2,0)^T)\).

Comments

Ok, in der Lösung wurder der Kern aber in dieser Parameterform angegeben.

Weißt du, wie ich am besten auf diese komme?

Außerdem wurden hier noch 3 Vektoren angegeben. 

Ker(A) = \( \begin{pmatrix} 2s\\s\\s\\0 \end{pmatrix} \) s∈ℤ3

 = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \) ,\( \begin{pmatrix} 2\\1\\1\\0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\2\\2\\0 \end{pmatrix} \)

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 v=(1,2,2,0) ist nur ein Basisvektor.

Der Kern ist die Lineare Hülle also

{ s*v = (s,2s,2s,0) | s ∈ ℤ/3ℤ } = {0*v, 1*v, 2*v}

In der rechten Seite findest du die 3 Vektoren.

Mit v ist aber natürlich auch -v = (2,1,1,0) ein Basisvektor des Kerns, man kann den Kern also auch wie in der gegebenen Lösung darstellen. Es gilt

{ (s,2s,2s,0) | s ∈ ℤ/3ℤ } = { (2s,s,s,0) | s ∈ ℤ/3ℤ }

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Ok, vielen Dank!

Wie kommst du bei der Matrix aber auf die Lineare Hülle mit dem Parameter?

Ich tue mich da grade etwas schwer.

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Deine Frage ging irgendwie an mir vorbei.

Wie man auf die Basisvektoren des Kerns kommt habe ich oben beschrieben, ist das klar?

Anschließend ist der Kern ja gerade die Lineare Hülle der Basisvektoren, bei endlich vielen ist das:

$$ \operatorname{Lin}(v_1,....,v_n ):=\{ \lambda_1v_1+\dotsm+\lambda_nv_n~|~\lambda_1,...,\lambda_n\in K  \} $$

Bei nur einem Vektor also

$$ \operatorname{Lin}(v_1 ):=\{ sv_1~|~s\in K  \} $$

Da liegen also gerade die Linearkombinationen der Basisvektoren drin.