Termumformung mit variablen und Potenzen

Question

Aufgabe:

$$\frac{x^{3}-2x^{2}-x+2}{x-2}$$

Problem/Ansatz:

Um einen detaillierten Lösungsvorschlag wäre ich sehr dankbar.

Comments

Achtung:

Der Term ist zu x^2-1 nur für x≠2 äquivalent.

:-)

Answer 1

Aloha :)

Hier hilft einfaches Ausklammern:$$\phantom{=}\frac{x^3-2x^2-x+2}{x-2}=\frac{x^2(x-2)-x+2}{x-2}=\frac{x^2(x-2)-(x-2)}{x-2}$$$$=\frac{(x^2-1)(x-2)}{x-2}=x^2-1$$

Comments

Wie kommst du von

$$\frac{x^2(x-2)-(x-2)}{x-2}$$ 

zu

$$\frac{(x^2-1)(x-2)}{x-2}$$

---

Ich habe einfach \((x-2)\) ausgeklammert:$$\frac{x^2(x-2)-(x-2)}{x-2}=\frac{x^2(x-2)-1\cdot(x-2)}{x-2}=\frac{(x^2-1)(x-2)}{x-2}$$

---

Das letzte Gleichheitszeichen gilt nur für x ungleich 2.

:-)

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Alle Gleichheitszeichen gelten nur für \(x\ne2\), weil dies schon für den Ausgangsterm dre Fall ist ;)

---

@Monthypython: Die Polstelle existiert schon im Bruch aus der Aufgabenstellung, weil \(x-2=0\) für \(x=2\) erfüllt ist.

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@Tschaka

Das sollte auch nur ein Hinweis für den Fragenden sein.

@Does

Es liegt keine Polstelle vor, sondern eine hebbare Definitionslücke.

:-)

---

@MonthyPython Polstellen sind Definitionslücken!

---

@ Doesbaddel

Hebbare Unstetigkeitsstellen sind auch Definitionslücken, obwohl sie keine Polstellen sind.

x=2 IST KEINE POLSTELLE.

---

Alle Polstellen sind Definitionslücken.

Nicht alle Definitionslücken sind Polstellen.

:-)

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Ja, ok. Ich habe vergessen, dass wir die mögliche Polstelle ja hier durch vereinfachen des Terms beheben können. Daher ist sie keine Polstelle.

Answer 2

Hi,

Hier ist eigentlich nur einen Polynomdivision gefragt. Ich würde das so machen:

(x^3  - 2x^2  - x + 2) : (x - 2)  =  x^2 - 1 
-(x^3  - 2x^2)         
—————
            - x + 2
          -(- x + 2)
            ———
                  0

Übrig bleibt also letztlich nur x²-1 für x ≠ 2.

Grüße

Comments

Danke. Darauf wäre ich nicht gekommen. Ich habe versucht das $$x^2$$ auszuklammern... daraus ist aber nichts geworden...

Danke dir!

---

Yop, mit Ausklammern kommt man hier nicht so einfach weiter. Aber Polynomdivision ist bei der Art von Brüchen oft zielführend.

Gerne

Answer 3

Zähler zweimal ausklammern und 3. bin. Formel:

x³ - 2x² - x + 2 = x²·(x-2)-1·(x-2)= (x²-1)·(x-2)=(x-1)·(x+1)·(x-2).

Wenn man jetzt mit x-2 kürzt, bleibt: (x-1)·(x+1).

Answer 4

Die Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm kann dir bei einer Polynomdivision helfen

(x^3  - 2x^2  - x  + 2) : (x - 2)  =  x^2 - 1  
 x^3  - 2x^2          
 —————————————————————
              - x  + 2
              - x  + 2
              ————————
                    0

Du kannst dir auf der Seite auch Übungsaufgaben mit Lösungen erzeugen lassen

Aufgaben:
1.)      (x^2 + 2x + 1) : (x + 1)
2.)      (4x^5 + 4x^4 + 3x^3 + 3x^2) : (4x^3 + 3x)
3.)      (2x^6 – 8x^5 + 13x^4 – 11x^3 + 9x^2 – 6x) : (x^3 – 3x^2 + 3x)
4.)      (3x^5 + 2x^4 + 6x^3 + 4x^2) : (3x^3 + 2x^2)
5.)      (2x^4 – 2x^3 + 3x^2 – 2x + 1) : (2x^2 – 2x + 1)
6.)      (–2x^5 + 9x^3 – 11x^2 + 17x – 10) : (x^2 + x – 5)
7.)      (–2x^4 + 3x^3 + 6x^2 + 2x) : (–x^3 + 2x^2 + 2x)
8.)      (–2x^7 + x^6 + 5x^5 – 9x^4 + 6x^3 + 6x^2 – 11x + 6) : (2x^3 + x^2 – 4x + 3)
9.)      (2x^3 + 10x^2 + 12x + 4) : (x^2 + 4x + 2)
10.)      (3x^4 + 7x^3 + x^2 – 4x) : (3x + 4)

Lösungen

1.)    x + 1
2.)    x^2 + x
3.)    2x^3 – 2x^2 + x – 2
4.)    x^2 + 2
5.)    x^2 + 1
6.)    –2x^3 + 2x^2 – 3x + 2
7.)    2x + 1
8.)    –x^4 + x^3 – x + 2
9.)    2x + 2
10.)    x^3 + x^2 – x

Answer 5

$$ x≠2 $$

\( \frac{x^{3}-2x^{2}-x+2}{x-2} \) =\( \frac{x^{2}*(x-2)}{(x-2)} \) - \( \frac{(x-2)}{(x-2)} \)

$$ = x^2 - 1 $$