Ableitungen: Wozu Extremalstellen in die zweite Ableitung und Wendestellen in die 3. einsetzen?

Question

 und einen schönen Abend!

Meine Fragen:

Wenn man die erste Ableitung gleich nullsetzt, erhält man die X-Werte, wenn man diese in die Ausgangsform einsetzt erhält man die Y-Werte. Somit habe ich die Extram bestimmt.
Warum werden hier die X-Werte auch in die 2 Ableitung eingesetzt? Daraus werde ich irgendwie nicht schlau.

Das selbe bei der zweiten Ableitung, durch 0 setzen erhält man X-Werte und wenn man diese in die Ausgangsform einsetzt erhält man die Y-Werte. Somit erhält man die Wendpunkte. Und warum werden auch hier die X-Werte in die 3 Ableitung eingesetzt?

Besten Gruß und schöne Weihnachten :)

Answer 1

also wenn ich nicht alles ganz verdrängt habe, setzt du den x-Wert in die 2. Ableitung ein, um den Tiefpunkt zu berechnen und in der 3. Ableitung berechnest du den Wendepunkt...

Ist bei mir auch alles ein wenig eingerostet..  Daher will ich nicht auf meine Annahme schwören ^^

Comments

Nein, mit der dritten Ableitung wird nicht der Wendepunkt berechnet. Es wird nur die x-Stelle überprüft, ob sie für einen Wendepunkt in betracht gezogen werden kann.

Auch ist es nicht richtig den x-Wert in die zweite Ableitung einzusetzen um einen Extrempunkt zu finden (muss nicht notgedrungen ein Tiefpunkt sein). Das hat der Fragesteller richtig ausgeführt.

Für den Punkt setzt man die gefundene Stelle in die Ausgangsfunktion f(x) ein.

Zum Überprüfen, ob und welches Extremum vorliegt, dafür wird die zweite Ableitung benutzt. Siehe meine Antwort.

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Gut, danke dir :)

Jetzt hab ich es dank euch auch mal wieder aufgefrischt ^^

Answer 2

Hi,

es gibt die notwendige Bedingung, dass f'(x) = 0 sein muss.

Zudem gibt es die hinreichende Bedingung, dass f'(x) = 0 und f''(x)≠0 sein muss.

Du musst also Dein Ergebnis aus der ersten Ableitung (den x-Wert) in die zweite einsetzen um zu überprüfen, ob Du wirklich einen Extremum hast (es könnte sich auch um einen Sattelpunkt/Wendepunkt handeln). Wenn ein Extremum vorliegt, kannst Du auch feststellen, welches vorliegt (Maximum oder Minimum).

Hast Du obiges abgeschlossen kannst Du das in die Ursprungsfunktion f(x) einsetzen und erhältst dadurch den y-Wert, also den Punkt.

Man kann das auch bildlich darstellen -> Die zweite Ableitung gibt die Art der Krümmung an. Ändert sich die Krümmung (der Fall ist möglich, wenn f''(x)=0), dann liegt ein Wendepunkt vor. Ist dies nicht der Fall, ist die Krümmung die gleiche wie zuvor. Das passt zu einem Extremum

 

(entsprechendes für den Wendepunkt)

Frohe Weihnachten

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Super, vielen Dank für die Antwort :)

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Gerne :)   .