Aussagenlogik, Negation, Äquivalenz

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Aussagenlogik, Negation, Äquivalenz

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1) Nein, du hast die Negation falsch in die Klammer gezogen. $$\neg (x\in A \implies x\in B)=(x\in A) \land \neg(x\in B)=(x\in A) \land (x\notin B)=:\neg (\nabla x)$$

2) Wir machen uns klar, dass $A\subseteq B$ genau dann gilt, wenn $A\setminus B=\emptyset$ gilt. Demnach gilt auch $\neg(A\subseteq B)$ genau dann, wenn $A\setminus B\neq \emptyset$. Mit anderen Worten: Es existiert ein $a\in A$ so, dass $a\notin B$.

Wir können nun mit einem Gegenbeispiel zeigen, dass $A\not\subset B\iff \neg(A\subseteq B)$ nicht für beliebige Mengen $A,B$ gilt:

Sei $A=B=\{0,1\}$. Also ist $A\not\subset B$, weil $A=B$. Daraus folgt, dass $A\setminus B =\emptyset $. Das ist ein Widerspruch zur Aussage "$A\not\subset B \iff A\setminus B\neq \emptyset$", was äquivalent zur Aussage "$A\not\subset B\iff \neg(A\subseteq B)$" ist . Folglich gilt die Behauptung $A \not\subset B\iff \neg(A\subseteq B)$ nicht für beliebige Mengen $A,B$. Die Aussage ist demnach falsch.

Kurz gesagt, für den Spezialfall $A=B$ ist $A\not\subset B\iff \neg (A\subseteq B)$ nicht wahr. Denn für $A=B$ ist $A\not\subset B$ aber auch $A\subseteq B$, Widerspruch. Die Aussage ist falsch.

3) Probiere das selbst, Male dir einfach die Wahrheitstafel wie folgt auf:

$$\begin{array}{c|c|c|c} a & b & a\implies b & \neg(a\implies b)\\ \hline 1 & 1 &1 &0 \\ 1 & 0 &0 &1 \\ 0& 1 &1 &0\\ 0& 0&1&0 \end{array}$$

Jetzt machst du das gleiche für $(a\land \neg b)$. Falls dann das selbe Endergebnis herauskommt, sind die Aussagen gleich.

Beantwortet 9 Okt 2020 von Doesbaddel

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Tschakabumba · Answer 1 · 2020-10-09T14:53:51+0000

Aloha :)

Die Negation einer Folgerung ist gar nicht so offensichtlich, wie man zunächst denkt. Betrachten wir dazu die folgende Aussage:$$\text{Es regnet.}\quad\Rightarrow\quad\text{Die Straße ist nass.}$$Aus dem Regen folgt zwangsläufig, dass die Straße nass wird. Der Regen ist also eine hinreichende Bedingung für eine nasse Straße. Es kann aber noch andere hinreichende Gründe für eine nasse Straße geben, etwa:$$\text{Tschaka schüttet Wasser auf die Straße.}\quad\Rightarrow\quad\text{Die Straße ist nass.}$$Wenn die Straße nass ist, kann man also nicht zwangsläufig folgern, dass es regnet. Ich könnte ja auch einen Eimer Wasser ausgeschüttet haben. Wenn die Straße jedoch trocken ist, wissen wir sicher, dass es nicht regnet und dass ich keinen Eimer Wasser ausgeschüttet habe. Die rechte Seite einer Folgerung ist daher eine notwendige Bedingung für die linke Seite. Wenn die rechte Seite nicht erfüllt ist, kann auch die linke nicht erfüllt sein. Die Umkehrung(en) der beiden Aussagen von oben lauten also:$$\text{Die Straße ist nicht nass.}\quad\Rightarrow\quad\text{Es regnet nicht.}$$$$\text{Die Straße ist nicht nass.}\quad\Rightarrow\quad\text{Tschaka hat kein Wasser auf die Straße geschüttet.}$$

1) Die Umkehrung von$$x\in A\;\Rightarrow\;x\in B$$lautet also:$$x\not\in B\;\Rightarrow\;x\not\in A$$

2) Hier hast du zwei Folgerungsfpeile, einen nach rechts und einen nach links. Wir kehren zum Zeigen beide einzeln für sich um:$$(A\not\subset B)\;\Rightarrow\;\lnot(A\subseteq B)\qquad\text{Umkehrung:}\quad(A\subseteq B)\;\Rightarrow\;(A\subset B\;\lor\;A=B)$$$$\lnot(A\subseteq B)\;\Rightarrow\;(A\not\subset B)\qquad\text{Umkehrung:}\quad(A\subset B\;\lor\;A=B)\;\Rightarrow\;(A\subseteq B)$$Wir können die Umkehrung wieder in einer Äquivalenz zusammenfassen:$$(A\subset B\;\lor\;A=B)\;\Leftrightarrow\;(A\subseteq B)$$

3) Hier gibt es 4 mögliche Fälle:$$\begin{array}{r}a & b & a\Rightarrow b & \lnot(a\Rightarrow b) & \lnot b & a\land\lnot b\\\hline0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\hline & & & \uparrow & & \uparrow\end{array}$$Du erkennst, dass die beiden markierten Spalten identisch sind.

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